[¯|¯] Dato un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi, determinare la corrispondenza tra gli insiemi

martedì, Luglio 3rd, 2018

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano — **Fig. 1**

Esercizio
Assegnati gli insiemi S={1,2,3} e S'={4,5,6,7}, determinare la corrispondenza da S verso S', il cui grafico è il seguente sottoinsieme di S×S':

rappresentato in fig. 1.

Soluzione
Per la proposizione dimostrata in questa lezione, F è il grafico della corrispondenza

data da

essendo π₁ e π₂ rispettivamente prima e seconda proiezione del prodotto cartesiano S×S':

Per x=1

Per x=2

Per x=3

Ne concludiamo che il sottoinsieme assegnato è il grafico della seguente corrispondenza da {1,2,3} verso {4,5,6,7}:

così definita:

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Indice degli esercizi

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[¯|¯] Le proprietà di una relazione si traducono in proprietà del grafico

giovedì, Giugno 28th, 2018

Dimostriamo alcune proposizioni che traducono le proprietà (riflessiva, simmetrica, etc.) in proprietà del grafico di una relazione.
Proposizione 1
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia riflessiva, è che la diagonale Δ del prodotto cartesiano S×S sia un sottoinsieme del grafico G(ρ). Cioè
insiemi,relazione,grafico

Dimostrazione

Proposizione 2
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia simmetrica, è che il suo grafico sia simmetrico rispetto alla diagonale del prodotto cartesiano S×S. Cioè

ove G^-1(ρ) è il simmetrico di G(ρ).

Dimostrazione
Premettiamo

Segue

D'altra parte

Cioè

Proposizione 3

Dimostrazione

Proposizione 3
Condizione necessaria e sufficiente affinché una relazione ρ:S->P(S) sia antisimmetrica, è che l'intersezione del grafico con il suo simmetrico sia un sottoinsieme della diagonale del prodotto cartesiano S×S. Cioè