[¯|¯] L'insieme di Cantor e la rappresentazione in base 3

venerdì, Aprile 7th, 2017

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo — **Fig. 1**

Dal momento che nella costruzione dell'insieme di Cantor entrano in gioco intervalli di ampiezza 1/3^k, si ha che tale insieme deve essere in qualche modo collegato alla rappresentazione dei reali x appartenenti all'aperto (0,1) in base 3. Infatti l'espansione in base 3 di x del predetto intervallo si scrive:

essendo in generale
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo,rappresentazione in base 3

dove b>1 è la base della rappresentazione. Se b=10 si ha per così dire l'espansione usuale, cioè in base 10
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Esempio

onde

Esempio
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Scriviamo la rappresentazione in base 3 del numero periodico 0.020202...

Ma

per cui
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

In che modo l'insieme di Cantor è collegato all'espansione in base 3? Per rispondere a questa domanda guardiamo il procedimento ricorsivo che restituisce il k-esimo insieme C_k:

Per k=1

Se osserviamo gli estremi dell'intervallo rimosso, cioè i punti 1/3 e 2/3, ci rendiamo conto che
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Cioè nella rappresentazione in base 3, al primo step (k=1) rimuoviamo l'intervallo aperto di estremi (0.1)₃,(0.2)₃. Il secondo step ricorsivo (k=2) restituisce l'insieme
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Qui vediamo che sono stati rimossi gli intervalli aperti
insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

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[¯|¯] L'insieme di Cantor è un insieme di misura nulla

giovedì, Aprile 6th, 2017

Nella lezione precedente abbiamo definito una procedura ricorsiva che restituisce l'insieme:

Ricordiamo che gli intervalli I_j^(k) sono ricorsivamente assegnati dalle formule

Abbiamo quindi la seguente definizione
Definizione
L'insieme

si chiama insieme di Cantor.
È immediata la proposizione:
Proposizione
L'insieme di Cantor è chiuso
Dimostrazione
Dall'espressione di C_k vediamo che C_k è chiuso, in quanto unione di insiemi chiusi. L'asserto segue dagli assiomi di spazio topologico, in quanto C è l'intersezione di una famiglia (infinita) di chiusi.
c.d.d.
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