[¯|¯] Riepilogo parziale sull'insieme di Cantor

domenica, Aprile 9th, 2017

insieme di cantor, insieme perfetto,misurabilità dell'insieme di cantor, insieme ricorsivo

Per non perderci per strada cerchiamo di riepilogare i risultati raggiunti. Siamo partiti dall'insieme C₀:

ovvero dall'intervallo [0,1] o ciò che è lo stesso, il segmento i cui estremi hanno ascissa 0 e 1, appartenente alla retta reale.
Dividiamo tale segmento in tre parti di pari lunghezza ossia in tre segmenti di lunghezza 1/3, dopodiché rimuoviamo il segmento centrale e chiamiamo C₁ l'insieme ottenuto (che è l'unione di due intervalli disgiunti), come mostrato in figura:

Applichiamo lo stesso procedimento ai segmenti che compongono C₁, ottenendo quattro segmenti ciascuno di lunghezza 1/9, come vediamo dalla figura:

Una suddivisione ulteriore restituisce otto segmenti ciascuno di lunghezza 1/27, come appare dalla figura:

Ripetendo un numero infinito di volte tale operazione di suddivisione, otteniamo infiniti segmenti di lunghezza infinitesima, giacché la k-esima suddivisione restituisce 2^k segmenti ciascuno di lunghezza 3^-k Poniamo

per cui

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[¯|¯] Caratterizzazione dell'insieme di Cantor attraverso un importante teorema

sabato, Aprile 8th, 2017

Introduciamo una particolare notazione per gli estremi degli intervalli che compongono la k-esima iterazione che porta alla definzione dell'insieme di Cantor. A tale scopo scriviamo:

Denotiamo con A^(k) l'insieme i cui elementi sono gli estremi sinistri dei singoli intervalli I^(k)_j, cioè

e con B^(k) l'insieme i cui elementi sono gli estremi destri dei predetti intervalli:

Ad esempio, per k=1

Per k=2

Per maggiore chiarezza, vedere la figura:

La k-esima iterazione definisce altri due sottoinsiemi di [0,1]:s

Cioè X^(k) è l'insieme di tutti e soli i punti la cui espansione ternaria (i.e. in base 3) è di ordine k e non contiene 1.
Osservazione

In genere un'espansione in base b>1 di un reale x in (0,1) è del tipo

Si dice, invece, di ordine k, se la predetta serie è troncata al k-esimo termine:

L'altro insieme è