[¯|¯] Composizione di applicazioni. Funzioni composte

Ottobre 2nd, 2014 | by extrabyte |

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Assegnate le applicazioni $f$ e $g$ :
\begin{align}
f & :x\in X\rightarrow f\left( x\right) \\
g & :y\in Y\rightarrow g\left( y\right) ,\nonumber
\end{align}
consideriamo il seguente sottoinsieme di $X$ (eventualmente vuoto):
\begin{equation}
A=\left\{ x\in X\mid f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation}
Evidentemente:

$A\not =\emptyset\Longrightarrow\exists x\in X\mid f\left( x\right) \in Y,$

onde:

$g:f\left( x\right) \in Y\rightarrow g\left( f\left( x\right) \right)$

In altri termini, se

$A\not =\emptyset$ , all'elemento

$x\in A$ corrisponde, mediante l'applicazione

$f$ , l'elemento

$f\left(x\right) \in Y$ e a quest'ultimo, mediante l'applicazione

$g$ , l'elemento

$g\left( f\left(x\right) \right)$ .

In tal modo, le applicazioni

$f$ e

$g$ vengono, per così dire, a "concatenarsi":
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
f\left( x\right) ,\,\,\,\,\forall x\in A}{f:A\rightarrow Y}\label{eq: comp2}
\end{equation}
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\left(
x\right) \longrightarrow g\left( f\left( x\right) \right)
,\,\,\,\,\forall f\left( x\right) \in Y}{g:Y\rightarrow Z}%
\end{equation}
dove l'insieme

$Z$ è tale che

$Z\supseteq g\left( Y\right)$ .

Osservazione
Nella (\ref{eq: comp2}) $f$ è in realtà la restrizione di $f$ ad $A$ e, pertanto, andrebbe denotata con $f_{A}$ . Per non appesantire la notazione, utilizziamo il simbolo usuale $f$ .

Le (\ref{eq: comp2}) definiscono una terza applicazione:
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
g\left( f\left( x\right) \right) ,\,\,\,\,\forall x\in A}{h:A\rightarrow
Z}%
\end{equation}
che si chiama applicazione (o funzione) composta e si indica con $g\circ f$
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow g\left( f\left( x\right) \right) ,\,\,\,\,\forall x\in A}{g\circ f:A\rightarrow Z} \label{eq: composizione}
\end{equation}
Quindi:

$\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right)\right) ,\,\,\,\forall x\in A$

Le applicazioni

$f$ e

$g$ sono le applicazioni componenti della funzione composta

$g\circ f$ . Precisamente,

$f$ è la componente interna e

$g$ è la componente esterna.

L'operazione di composizione di applicazioni è spesso denominata prodotto di applicazioni e si generalizza a $n$ applicazioni $f_{1},f_{2},...,f_{n}$ :

$f_{n}\circ f_{n-1}\circ...\circ f_{1}%$

Ad esempio, per

$n=3$ :
\begin{align}
f & :x\in X\rightarrow f\left( x\right) \\
g & :y\in Y\rightarrow g\left( y\right) \nonumber\\
h & :z\in Z\rightarrow h\left( z\right) \nonumber
\end{align}
Consideriamo i seguenti sottoinsiemi di

$X$ e

$Y$ (eventualmente vuoti):
\begin{align*}
A & =\left\{ x\in X\mid f\left( x\right) \in Y\right\} \\
B & =\left\{ y\in Y\mid g\left( y\right) \in Z\right\}
\end{align*}
Evidentemente:

$A\not =\emptyset\Longrightarrow\exists x\in X\mid f\left( x\right) \in Y,$

onde:

$g:f\left( x\right) \in Y\rightarrow g\left( f\left( x\right) \right)$

Per quanto visto, ciò definisce l'applicazione composta:

$g\circ f:x\in A\longrightarrow g\left( f\left( x\right) \right)$

Ora supponiamo

$B\not =\emptyset$ :

$B\not =\emptyset\Longrightarrow\exists y\in Y\mid g\left( y\right) \in Z,$

onde:

$h:g\left( y\right) \in Z\rightarrow h\left( g\left( y\right) \right)$

In tal modo, le applicazioni

$g$ e

$h$ vengono a "concatenarsi":
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y\longrightarrow
g\left( y\right) ,\,\,\,\,\forall y\in B}{g:B\rightarrow Z}%
\end{equation}
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g\left(
y\right) \longrightarrow h\left( g\left( y\right) \right)
,\,\,\,\,\forall g\left( y\right) \in Z}{h:Z\rightarrow W}%
\end{equation}
dove

$W$ è tale che

$W\supseteq h\left( Z\right)$ . Abbiamo dunque la funzione composta:

$\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y\longrightarrow h\left( g\left( y\right) \right) ,\,\,\,\,\forall y\in B}{h\circ g:B\rightarrow W}%$

ovvero:

$\left( h\circ g\right) \left( y\right) =h\left( g\left( y\right) \right) ,\,\,\,\,\forall y\in B$

In definitiva:
composizione di applicazioni

Abbiamo, dunque, una quarta applicazione:
composizione di applicazioni, funzioni composte

In cui riconosciamo la funzione composta

$h\circ g\circ f$

ovvero:

$\left( h\circ g\circ f\right) \left( x\right) =h\left( g\left( f\left(x\right) \right) \right) ,\,\,\,\,\forall x\in A$

Proposizione 1
Il prodotto di applicazioni verifica la propriet\`{a} associativa.
Dimostrazione
Senza perdita di generalità, consideriamo il caso $n=3$ , con le applicazioni $f,g\,,h$ definite in precedenza. Si tratta di dimostrare:
\begin{equation}
\left( h\circ g\right) \circ f=h\circ\left( g\circ f\right)
\label{eq: associativa}%
\end{equation}
Poniamo $G=h\circ g$ , per cui:

$\left[ \left( h\circ g\right) \circ f\right] \left( x\right) =\left(G\circ f\right) \left( x\right) =G\left( f\left( x\right) \right)=\left( h\circ g\right) \left( f\left( x\right) \right) =h\left(g\left( f\left( x\right)\right) \right) ,\,\,\,\,\forall x\in A$

$g\left( f\left( x\right) \right) =\left( g\circ f\right) \left(x\right)$ , onde:

$\left[ \left( h\circ g\right) \circ f\right] \left( x\right) =h\left[\left( g\circ f\right) \left( x\right) \right] =\left[ h\circ\left(g\circ f\right) \right] \left( x\right) ,\,\,\,\,\forall x\in A$