[¯|¯] Composizione di applicazioni. Funzioni composte

Ottobre 2nd, 2014 | by extrabyte |
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Assegnate le applicazioni e :
\begin{align}
f & :x\in X\rightarrow f\left( x\right) \\
g & :y\in Y\rightarrow g\left( y\right) ,\nonumber
\end{align}
consideriamo il seguente sottoinsieme di (eventualmente vuoto):
\begin{equation}
A=\left\{ x\in X\mid f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation}
Evidentemente:


onde:


In altri termini, se , all'elemento corrisponde, mediante l'applicazione , l'elemento e a quest'ultimo, mediante l'applicazione , l'elemento .



In tal modo, le applicazioni e vengono, per così dire, a "concatenarsi":
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
f\left( x\right) ,\,\,\,\,\forall x\in A}{f:A\rightarrow Y}\label{eq: comp2}
\end{equation}
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\left(
x\right) \longrightarrow g\left( f\left( x\right) \right)
,\,\,\,\,\forall f\left( x\right) \in Y}{g:Y\rightarrow Z}%
\end{equation}
dove l'insieme è tale che .

Osservazione
Nella (\ref{eq: comp2}) è in realtà la restrizione di ad e, pertanto, andrebbe denotata con . Per non appesantire la notazione, utilizziamo il simbolo usuale .

Le (\ref{eq: comp2}) definiscono una terza applicazione:
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
g\left( f\left( x\right) \right) ,\,\,\,\,\forall x\in A}{h:A\rightarrow
Z}%
\end{equation}
che si chiama applicazione (o funzione) composta e si indica con
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow g\left( f\left( x\right) \right) ,\,\,\,\,\forall x\in A}{g\circ f:A\rightarrow Z} \label{eq: composizione}
\end{equation}
Quindi:


Le applicazioni e sono le applicazioni componenti della funzione composta . Precisamente, è la componente interna e è la componente esterna.

L'operazione di composizione di applicazioni è spesso denominata prodotto di applicazioni e si generalizza a applicazioni :


Ad esempio, per :
\begin{align}
f & :x\in X\rightarrow f\left( x\right) \\
g & :y\in Y\rightarrow g\left( y\right) \nonumber\\
h & :z\in Z\rightarrow h\left( z\right) \nonumber
\end{align}
Consideriamo i seguenti sottoinsiemi di e (eventualmente vuoti):
\begin{align*}
A & =\left\{ x\in X\mid f\left( x\right) \in Y\right\} \\
B & =\left\{ y\in Y\mid g\left( y\right) \in Z\right\}
\end{align*}
Evidentemente:


onde:


Per quanto visto, ciò definisce l'applicazione composta:


Ora supponiamo :


onde:


In tal modo, le applicazioni e vengono a "concatenarsi":
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y\longrightarrow
g\left( y\right) ,\,\,\,\,\forall y\in B}{g:B\rightarrow Z}%
\end{equation}
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g\left(
y\right) \longrightarrow h\left( g\left( y\right) \right)
,\,\,\,\,\forall g\left( y\right) \in Z}{h:Z\rightarrow W}%
\end{equation}
dove è tale che . Abbiamo dunque la funzione composta:


ovvero:


In definitiva:
composizione di applicazioni

Abbiamo, dunque, una quarta applicazione:
composizione di applicazioni, funzioni composte

In cui riconosciamo la funzione composta

composizione di applicazioni, funzioni composte

ovvero:

Proposizione 1
Il prodotto di applicazioni verifica la propriet\`{a} associativa.
Dimostrazione
Senza perdita di generalità, consideriamo il caso , con le applicazioni definite in precedenza. Si tratta di dimostrare:
\begin{equation}
\left( h\circ g\right) \circ f=h\circ\left( g\circ f\right)
\label{eq: associativa}%
\end{equation}
Poniamo , per cui:


Ma , onde:


Cioè l'asserto (\ref{eq: associativa}).

Proposizione 2
Comunque prendiamo un'applicazione


dove e sono le applicazioni identiche su e su rispettivamente.

Dimostrazione
Omessa.

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