[¯|¯] Esempio 1 di calcolo dell'ordine di un infinitesimo

venerdì, Febbraio 24th, 2017

infinitesimi,infiniti,infinitesimo di riferimento,infinito di riferimento — **Fig. 2. In un intorno di x=0 la funzione f(x)=1-cos(x) può essere approssimata dalla funzione potenza di esponente reale 2 g(x)=x².**

Per quanto visto nella Lezione 2, esempi immediati di infinitesimi confrontabili sono offerti dai limiti fondamentali:

da cui vediamo che per x->0, l'infinitesimo sin(x) è del primo ordine rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x, mentre l'infinitesimo 1-cos(x) è del secondo ordine. Graficamente ciò equivale a dire che in un intorno di x=0 i diagrammi cartesiani di sin(x) e 1-cos(x) possono essere approssimati rispettivamente dalla retta y=x e dall'arco di parabola y=x², come illustrato nelle figg. 1 e 2.
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[¯|¯] Infinitesimo [infinito] di riferimento

giovedì, Febbraio 23rd, 2017

Per poter quantificare il concetto di ordine di un infinitesimo (o di un infinito) è necessario definire un infinitesimo (o un infinito) di riferimento. Per fissare le idee, iniziamo con gli infinitesimi. Nella classe I(x₀) di tutti e soli gli infinitesimi in x0, scegliamo ad arbitrio un infinitesimo di riferimento (o infinitesimo campione) u(x). La scelta più semplice è

Osserviamo che comunque prendiamo α>0, riesce:
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Cioè

Inoltre, per ogni ß>0
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In altri termini, se α>ß l'infinitesimo [u(x)]^α è di ordine superiore a [u(x)]^ß, e viceversa se α<ß. Se α=ß gli infinitesimi [u(x)]^α e [u(x)]^ß sono equivalenti. Ne consegue:
Definizione 1
Il numero reale α>0 si dice ordine dell'infinitesimo [u(x)]^α.
Ciò premesso, sussiste la seguente definizione: