[¯|¯] Infinitesimo [infinito] di riferimento

Febbraio 23rd, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Per poter quantificare il concetto di ordine di un infinitesimo (o di un infinito) è necessario definire un infinitesimo (o un infinito) di riferimento. Per fissare le idee, iniziamo con gli infinitesimi. Nella classe I(x₀) di tutti e soli gli infinitesimi in x0, scegliamo ad arbitrio un infinitesimo di riferimento (o infinitesimo campione) u(x). La scelta più semplice è

Osserviamo che comunque prendiamo α>0, riesce:
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Cioè

Inoltre, per ogni ß>0
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In altri termini, se α>ß l'infinitesimo [u(x)]^α è di ordine superiore a [u(x)]^ß, e viceversa se α<ß. Se α=ß gli infinitesimi [u(x)]^α e [u(x)]^ß sono equivalenti. Ne consegue:
Definizione 1
Il numero reale α>0 si dice ordine dell'infinitesimo [u(x)]^α.
Ciò premesso, sussiste la seguente definizione:

Il numero reale α>0 si dice ordine di f(x) rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x).

In maniera del tutto analoga si definisce l'ordine di un infinito f(x) della classe J(x₀). Più precisamente, se u(x) è l'infinitesimo di riferimento nella classe I(x₀), si assume come infinito di riferimento nella classe J(x₀), l'infinito:
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