[¯|¯] Parte principale di un infinito

martedì, Febbraio 28th, 2017

Siano dati gli infiniti (in x0) f(x) e g(x). Se f(x) è di ordine a rispetto a g(x):

In tale ipotesi poniamo
infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Riesce

ccosicché ε(x) è un infinitesimo (in x₀). Definiamo

Quindi

segue che r(x) è un infinito di ordine minore di α (rispetto a g(x)). Infatti:
infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Tenendo conto della formula che definisce ε(x):
infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

da cui

Abbiamo così ricavato la formula di decomposizione di un infinito. Sussiste la definizione

In particolare se g(x) è l'infinito di riferimento v(x), la formula di decomposizione diventa:

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[¯|¯] Esempio 1 di calcolo dell'ordine di un infinitesimo

venerdì, Febbraio 24th, 2017

infinitesimi,infiniti,infinitesimo di riferimento,infinito di riferimento — **Fig. 2. In un intorno di x=0 la funzione f(x)=1-cos(x) può essere approssimata dalla funzione potenza di esponente reale 2 g(x)=x².**

Per quanto visto nella Lezione 2, esempi immediati di infinitesimi confrontabili sono offerti dai limiti fondamentali:

da cui vediamo che per x->0, l'infinitesimo sin(x) è del primo ordine rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x, mentre l'infinitesimo 1-cos(x) è del secondo ordine. Graficamente ciò equivale a dire che in un intorno di x=0 i diagrammi cartesiani di sin(x) e 1-cos(x) possono essere approssimati rispettivamente dalla retta y=x e dall'arco di parabola y=x², come illustrato nelle figg. 1 e 2.
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