[¯|¯] Parte principale di un infinito

Febbraio 28th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Siano dati gli infiniti (in x0) f(x) e g(x). Se f(x) è di ordine a rispetto a g(x):

In tale ipotesi poniamo
infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Riesce

ccosicché ε(x) è un infinitesimo (in x₀). Definiamo

Quindi

segue che r(x) è un infinito di ordine minore di α (rispetto a g(x)). Infatti:
infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Tenendo conto della formula che definisce ε(x):
infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

da cui

Abbiamo così ricavato la formula di decomposizione di un infinito. Sussiste la definizione

In particolare se g(x) è l'infinito di riferimento v(x), la formula di decomposizione diventa:

Proposizione
La parte principale di un infinito di ordine α è a sua volta un infinito di ordine α.
Dimostrazione
Abbiamo
infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore

Per la posizione fatta all'inizio:

onde l'asserto.
c.d.d.

Ne consegue che un qualunque infinito di ordine α si decompone nella somma di una parte principale (di ordine α) e di un termine r(x) che se è un infinito, è di ordine maggiore di α. Se f(x) e v(x) sono equivalenti, ovvero se

la formula di decomposizione si scrive:
infiniti, parte principale di un infinito, formula di decomposizione di un infinito,termine di ordine inferiore