[¯|¯] Parte principale di un infinitesimo

lunedì, Febbraio 27th, 2017

Siano dati gli infinitesimi (in x₀) f(x) e g(x) non identicamente nulli intorno a tale punto. Se f(x) è di ordine α rispetto a g(x):

In tale ipotesi poniamo
infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, formula di decomposizione di un infinitesimo,termine di ordine superiore

Riesce

ccosicché ε(x) è un infinitesimo (in x₀). Da ciò segue che la funzione

è un infinitesimo di ordine maggiore di α rispetto a g(x). Infatti:

Tenendo conto della formula che definisce ε(x):

da cui

Abbiamo così ricavato la formula di decomposizione di un infinitesimo. Sussiste la definizione

In particolare se g(x) è l'infinitesimo di riferimento u(x), la formula di decomposizione diventa:

Proposizione
La parte principale di un infinitesimo di ordine α è a sua volta un infinitesimo di ordine α.
Dimostrazione
Segue immediatamente dalla definizione di parte principale.
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[¯|¯] Esempio 1 di calcolo dell'ordine di un infinitesimo

venerdì, Febbraio 24th, 2017

infinitesimi,infiniti,infinitesimo di riferimento,infinito di riferimento — **Fig. 2. In un intorno di x=0 la funzione f(x)=1-cos(x) può essere approssimata dalla funzione potenza di esponente reale 2 g(x)=x².**

Per quanto visto nella Lezione 2, esempi immediati di infinitesimi confrontabili sono offerti dai limiti fondamentali:

da cui vediamo che per x->0, l'infinitesimo sin(x) è del primo ordine rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x)=x, mentre l'infinitesimo 1-cos(x) è del secondo ordine. Graficamente ciò equivale a dire che in un intorno di x=0 i diagrammi cartesiani di sin(x) e 1-cos(x) possono essere approssimati rispettivamente dalla retta y=x e dall'arco di parabola y=x², come illustrato nelle figg. 1 e 2.
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