» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Parte principale di un infinitesimo

Febbraio 27th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Siano dati gli infinitesimi (in x₀) f(x) e g(x) non identicamente nulli intorno a tale punto. Se f(x) è di ordine α rispetto a g(x):

In tale ipotesi poniamo

Riesce

ccosicché ε(x) è un infinitesimo (in x₀). Da ciò segue che la funzione

è un infinitesimo di ordine maggiore di α rispetto a g(x). Infatti:

Tenendo conto della formula che definisce ε(x):

da cui

Abbiamo così ricavato la formula di decomposizione di un infinitesimo. Sussiste la definizione

In particolare se g(x) è l'infinitesimo di riferimento u(x), la formula di decomposizione diventa:

Proposizione
La parte principale di un infinitesimo di ordine α è a sua volta un infinitesimo di ordine α.
Dimostrazione
Segue immediatamente dalla definizione di parte principale.

Ne consegue che un qualunque infinitesimo di ordine α si decompone nella somma di una parte principale (di ordine α) e di un termine di ordine maggiore di α. In un intorno "sufficientemente piccolo" di x₀ è lecito trascurare il termine di ordine superiore r(x). Cioè

essendo X l'insieme di definizione della funzione f(x). Se f(x) e u(x) sono equivalenti, ovvero se

la formula di decomposizione si scrive:

onde

In tal caso è consuetudine (specie nelle applicazioni) asserire che in un intorno di x₀ la funzione f(x) "va come" u(x).

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Tags: formula di decomposizione di un infinitesimo, infinitesimi, parte principale di un infinitesimo, termine di ordine superiore

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