[¯|¯] Infinitesimo [infinito] di riferimento

giovedì, Febbraio 23rd, 2017

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Per poter quantificare il concetto di ordine di un infinitesimo (o di un infinito) è necessario definire un infinitesimo (o un infinito) di riferimento. Per fissare le idee, iniziamo con gli infinitesimi. Nella classe I(x₀) di tutti e soli gli infinitesimi in x0, scegliamo ad arbitrio un infinitesimo di riferimento (o infinitesimo campione) u(x). La scelta più semplice è

Osserviamo che comunque prendiamo α>0, riesce:
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Cioè

Inoltre, per ogni ß>0
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In altri termini, se α>ß l'infinitesimo [u(x)]^α è di ordine superiore a [u(x)]^ß, e viceversa se α<ß. Se α=ß gli infinitesimi [u(x)]^α e [u(x)]^ß sono equivalenti. Ne consegue:
Definizione 1
Il numero reale α>0 si dice ordine dell'infinitesimo [u(x)]^α.
Ciò premesso, sussiste la seguente definizione:

Il numero reale α>0 si dice ordine di f(x) rispetto all'infinitesimo di riferimento u(x).
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[¯|¯] Principio di sostituzione degli infinitesimi [infiniti]

giovedì, Febbraio 23rd, 2017

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Per determinare il limite del rapporto degli infinitesimi f(x) e g(x) può essere utilizzato un potente teorema:
Teorema 1 (Principio di sostituzione degli infinitesimi)
Ipotesi

Siano f(x) e g(x) infinitesimi (per x->x0) che ammettono una decomposizione del tipo

con f₁(x),f₂(x),g₁(x),g₂(x) tali che f₂(x) è di ordine superiore a f₁(x), e g₂(x) è di ordine superiore a g₁(x).
Il rapporto f(x)/g(x) è regolare in x0.