Le infinite infinità di Gplot (farfalla di Hofstadter)

sabato, Maggio 15th, 2021

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Tratto da Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante.

Gplot è una versione altamente astratta della risposta alla domanda: "Quali sono le energie permesse degli elettroni di un cristallo immerso in un campo magnetico?". Questo problema è interessante perché costituisce un incroncio di due situazioni fisiche, entrambe fondamentali e molto semplici, in cui può trovarsi un elettrone: un cristallo perfetto e un campo magnetico omogeneo. I due problemi presi singolarmente sono ben noti e risolti e le loro soluzioni caratteristiche sembrano quasi incompatibili tra loro. Sapere come la natura riesca a conciliare le due cose costituisce pertanto un problema certamente interessante. Si dà il caso che la situazione del cristallo senza campo magnetico e quella del campo magnetico senza cristallo hanno in effetti un tratto comune: in ognuna delle due l'elettrone ha un comportamento periodico rispetto al tempo. Quando le due situazioni vengono combinate, si trova che il rapporto tra i due periodi temporali è il parametro chiave. Quel rapporto contiene infatti tutta l'informazione sulla distribuzione delle energie permesse dell'elettrone, ma per conoscere il suo segreto occorre sviluppare quel rapporto in una frazione continua.

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