Le infinite infinità di Gplot (farfalla di Hofstadter)

Maggio 15th, 2021 | by 19olmo59 |

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Tratto da Gödel, Escher, Bach: un'eterna ghirlanda brillante.


Gplot è una versione altamente astratta della risposta alla domanda: "Quali sono le energie permesse degli elettroni di un cristallo immerso in un campo magnetico?". Questo problema è interessante perché costituisce un incroncio di due situazioni fisiche, entrambe fondamentali e molto semplici, in cui può trovarsi un elettrone: un cristallo perfetto e un campo magnetico omogeneo. I due problemi presi singolarmente sono ben noti e risolti e le loro soluzioni caratteristiche sembrano quasi incompatibili tra loro. Sapere come la natura riesca a conciliare le due cose costituisce pertanto un problema certamente interessante. Si dà il caso che la situazione del cristallo senza campo magnetico e quella del campo magnetico senza cristallo hanno in effetti un tratto comune: in ognuna delle due l'elettrone ha un comportamento periodico rispetto al tempo. Quando le due situazioni vengono combinate, si trova che il rapporto tra i due periodi temporali è il parametro chiave. Quel rapporto contiene infatti tutta l'informazione sulla distribuzione delle energie permesse dell'elettrone, ma per conoscere il suo segreto occorre sviluppare quel rapporto in una frazione continua.

Gplot mostra tale distribuzione. Se il rapporto α tra i periodi è 0, non c'è campo magnetico. Ognuno dei segmenti di linea che costituiscono Gplot rappresenta una "banda energetica", cioè valori permessi dell'energia. Le fasce vuote che attraversano Gplot a tutte le diverse scale costituiscono perciò regioni di energia proibite. Una delle proprietà più sorprendenti di Gplot è che se α è razionale (se cioè abbiamo α=p/q),allora il numero di quelle bande è esattamente q. E se α è irrazionale, le bande si riducono a punti, anzi ad una infinità di punti distribuiti in modo sparso a formare un insieme di Cantor: altro ente definito ricorsivamente che appare in topologia.

Sarebbe lecito domandarsi a questo punto se potrà mai capitare che si ritrovi questa struttura tanto complicata come risultato di un esperimento. Francamente, io stesso sarei la persona più sorpresa del mondo se Gplot risultasse da un esperimento. L'aspetto fisico di Gplot sta nel fatto che vi si mostra la strada per una corretta trattazione matematica di problemi meno astratti di questo tipo. In altre parole, Gplot è soltanto un contributo alla fisica teorica, non un suggerimento per i fisici sperimentali affinché vadano a vedere se incontrano quel disegno da qualche parte! Un mio amico agnostico un giorno fu talmente colpito dalle infinite infinità di Gplot che lo chiamò "un ritratto di Dio", e penso che ciò non sia affatto blasfemo.

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