Studio di un integrale generalizzato

venerdì, Novembre 13th, 2020

integrali generalizzati,funzioni integrabili,funzioni sommabili

Sia f(x)=0 una funzione continua in [a,b], derivabile due volte in (a,b) con derivate continue. Se ξ è un punto interno di [a,b] ed è uno zero di f(x), necessariamente è un punto di minimo relativo, con f''(ξ) ≥ 0 (derivata seconda non negativa). Preso ad arbitrio un punto x₀ interno ad [a,b], ci proponiamo di studiare il comportamento del seguente integrale generalizzato

il cui estremo superiore di integrazione è un'evidente punto di discontinuità di seconda specie per la funzione integranda. Quest'ultima è comunque integrabile in [x0,xi;] giacché ha ivi segno costante. Per essere più specifici:

Per discutere la sommabilità applichiamo un noto criterio, che consiste nel determinare l'eventuale ordine di infinito dell'integrando nel predetto punto di discontinuità. Si tratta di studiare la seguente operazione di passaggio al limite:

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[¯|¯] Funzioni integrabili e funzioni sommabili

venerdì, Febbraio 15th, 2019

funzioni integrabili,funzioni sommabili,integrabilità,sommabilità

Alcuni esempi numerici esaminati nei numeri precedenti, impongono le seguenti definizioni:

Definizione
Una funzione generalmente continua in un intervallo X (limitato o illimitato) si dice integrabile , se comunque prendiamo una successione di domini {T_n} tali che

è univocamente determinato il limite:

che è l'integrale generalizzato di f esteso all'intervallo X, ossia

risultando

Nota. Nel caso particolare di una funzione non negativa, si ha ovviamente

Nel caso particolare

la funzione si dice sommabile.
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