» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] La funzione esponenziale

La richiesta a diverso da 1 si giustifica osservando che per a = 1 è f(x) = 1, per ogni x. Cioè, la funzione esponenziale di base 1 è la funzione costante f(x) = 1.
Per lo studio della monotonia della funzione esponenziale, prendiamo ad arbitrio e tali che , per cui possiamo considerare la funzione potenza di esponente reale positivo:

Per quanto visto nella Lezione 20, la funzione g(x)è strettamente crescente in [0,+oo). Nelle figg. 1-2. riportiamo i casi e tali che .

Caso 1: a >1

Dalla monotonia di g(x) segue:

Cioè:

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[¯|¯] Suriettività e iniettività di una funzione. Una questione controversa

Su un gruppo di Facebook dedicato alla Matematica, c'è stato uno scambio di idee con un utente. Ecco lo screenshot dell'osservazione sulle funzioni suriettive ed iniettive.

Rivediamo un attimo la nostra definizione di funzione suriettiva. A tale scopo denominiamo tale definizione con Definizione 01, mentre l'altra la chiamiamo Definizione 02.

Data la funzione (o applicazione):
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
y,\,\,\,\,\forall x\in X}{f:X\rightarrow Y}, \label{eq: definizione0102}%
\end{equation}
ricordiamo che $X$ è il dominio di $f$, mentre l'insieme $f\left(X\right) =\left\{ y\in Y\mid y=f\left( x\right) ,\,\,\forall x\in X\right\} \subseteq Y$ è il codominio di $f$ che nella Definizione 02
è indicato con il simbolo cod$\left( f\right)$ o $\operatorname{Im}%<br /> \left( f\right)$. Nella Definizione 01 la funzione (\ref{eq: definizione0102}) è suriettiva se e solo se $f\left( X\right)=Y$. Nella Definizione 02 abbiamo: comunque prendiamo un insieme $B\subseteq Y$, la funzione (\ref{eq: definizione0102}) è suriettiva se e solo se $B\subseteq f\left( X\right)$. Nel tentativo di comprendere la differenza tra queste due definizioni, consideriamo l'esempio seguente:

Esempio
Sia data la funzione esponenziale:
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
e^{x},\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}}{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}
\label{f:exp0102}%
\end{equation}
Qui è $X=Y=\mathbb{R}$ e $f\left( X\right) =\left( 0,+\infty\right)$, per cui secondo la Definizione 01, la funzione esponenziale non è suriettiva. Secondo la Definizione 02, invece, la funzione esponenziale è suriettiva su ogni insieme $B\subseteq\left( 0,+\infty\right)$.
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