La normalizzazione della funzione d'onda di una particella relativistica di spin 0

sabato, Maggio 1st, 2021

funzione d'onda di una particella relativistica di spin 0,equazione di Klein-Gordon

Riscriviamo l'equazione di Klein-Gordon e il relativo problema di Cauchy:

dove le funzioni che definiscono i valori iniziali, sono scelte ad arbitrio. Tale arbitrarietà distrugge la positività della densità di probabilità

nel senso che tale funzione può essere positiva/negativa o nulla. Prima di reinterpretare la grandezza ρ, osserviamo che tale problema nasce dall'ordine dell'equazione di K-G rispetto alla derivata temporale. Per quanto visto in precedenza, è possibile ridurre di una unità il predetto ordine, definendo due nuove funzioni:

Eseguendo i dovuti passaggi si perviene al sistema di equazioni differenziali

Qui le condizioni iniziali sono

Il sistema può essere scritto in forma operatoriale

in cui abbiamo definito l'operatore hamiltoniano

avendo introdotto le matrici

Prima di scrivere le soluzioni dell'equazione differenziale operatoriale del tipo Schrödinger, osserviamo che lo spazio di Hilbert associato al sistema è