La funzione di Airy e il neutrone in caduta libera

martedì, Marzo 16th, 2021

neutrone,gravità, meccanica quantistica,funzione di airy

Se il neutrone fosse un oggetto classico, il problema della caduta libera si risolverebbe al volo. Infatti, orientando un asse x verso l'alto, si ha che il potenziale del campo di gravità è

dove m è la massa del neutrone e g l'accelerazione di gravità. Si noti che abbiamo posto lo zero del potenziale in x=0 (suolo). Applicando il secondo principio della dinamica si perviene all'equazione differenziale del moto:

che assieme alle condizioni iniziali x(0)=x0 e d/dt(x(t))=0 (per t=0) restituisce l'unica soluzione

che ci consente di calcolare l'istante di arrivo al suolo:

Schematizzando il suolo come una superficie infinitamente dura, si ha un urto elastico ed è facile determinare la dinamica del processo a tutti i tempi. Sfortunatamente, il neutrone è un oggetto quantistico per cui non è possibile assegnare una condizione iniziale di quella vista prima giacché violerebbe il principio di indeterminazione di Heisenberg. La Meccanica quantistica ci dice che dobbiamo risolvere lo spettro dell'operatore hamiltoniano:

Dal momento che il suolo è una superficie infinitamente dura, si ha:

Per un assegnato valore E=mgx₀ dell'energia, la regione classicamente accessibile

Ne segue che lo spettro dell'hamiltoniano è puramente discreto. Abbiamo, dunque, solo stati legati. Per determinare lo spettro dobbiamo risolvere l'equazione agli autovalori:

cioè integrare l'equazione differenziale del secondo ordine (equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo)

Con le condizioni al contorno:

È preferibile passare al dominio degli impulsi. Come è noto, ciò equivale ad eseguire la trasformata di Fourier giacché le autofunzioni dell'energia nel predetto dominio sono:

Eseguendo la trasformata di Fourier delle funzioni che compaiono nell'equazione di Schrödinger, otteniamo la medesima equazione scritta nel dominio degli impulsi:

che è del primo ordine e a variabili separabili:

da cui

Segue

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[¯|¯] Quantum bouncing ball: una quasi simulazione di uno stato legato quark-antiquark

martedì, Aprile 30th, 2019

quantum bouncing ball,quarkonio,funzione di Airy

Immaginiamo una pallina da ping pong lasciata cadere da un'altezza H. In assenza di resistenza dell'aria (condizione ideale), e nell'ipotesi di un urto elastico, la pallina rimbalza sul suolo per ritornare alla quota iniziale, dove invertirà il moto per raggiungere nuovamente il pavimento, e così via all'infinito... Immaginiamo ora di avere una pallina submicroscopica ossia QUANTISTICA. In termini di energia potenziale, tale sistema si muove nel campo di forze gravitazionali di energia potenziale V(x)=m*g*x, dove m è la massa inerziale (=massa gravitazionale 🙂 ), g il modulo dell'accelerazione di gravità, x la quota.

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