[¯|¯] Fenomeno di Runge e campo non connesso

venerdì, Luglio 3rd, 2015

Nel tentativo di tirar fuori un algoritmo per la ricerca del polinomio interpolatore mi sono imbattuto in una proprietà interessante (ma potrebbe essere solo una coincidenza) e cioè che la possibilità di attenuare il fenomeno di Runge (e quindi, risolvere il problema) sia in qualche modo legata alla topologia di un particolare insieme di punti del piano euclideo. Per essere più specifici, ho considerato il parametro libero μ come una variabile reale, per cui il polinomio diviene una funzione reale delle variabili reali x e μ. A questo punto diviene più facile (via software) visualizzare per quali valori di μ la funzione è negativa (e quindi il polinomio, il cui grafico è ora l'intersezione del grafico della funzione di due variabili con un piano parallelo al piano coordinato xz.

Incidentalmente, il comando di Mathematica RegionPlot[] permette di ricostruire il sottoinsieme di R^2 in cui la funzione di due variabili è negativa. Tale sottoinsime è un campo non connesso e dalla sua struttura dipende l'esistenza di ciò che io chiamo regioni di Runge, i.e. gli insiemi di valori del parametro μ che attenuano in maniera significativa l'omonimo fenomeno.

Per i dettagli, leggi in pdf (da prendere con le molle, in quanto è solo una bozza).

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[¯|¯] Esame di maturità 2015 - prova di matematica (liceo scientifico) (parte 2)

mercoledì, Luglio 1st, 2015

Aggiornamento del post precedente

Di seguito il grafico di uno dei polinomi interpolatori della funzione assegnata.

interpolazione polinomiale,fenomeno di runge

L'oscillazione del grafico in un intorno sinistro del punto x=3 non può essere eliminata, poichè è dovuta al fenomeno di Runge. Per essere più precisi, è proprio tale fenomeno che ha reso quasi impossibile cercare la soluzione. In seguito a uno scambio di idee con Marco Costantini sul gruppo "Matematica" di Facebook, alla fine ho capito che l'unico modo per attenuare il fenomeno di Runge, consiste nella cancellazione delle oscillazioni tramite una opportuna combinazione lineare di soluzioni. Per essere più specifici, il minimo grado del polinomio è 11. Imponendo le condizioni sugli estremi relativi e sugli zeri, si ottengono oo^6 soluzioni. Imponendo le condizioni sulle aree, otteniamo oo^2 soluzione, ciascuna delle quali è però "infettata" dal fenomeno di Runge. Per quanto detto, l'unico modo per attenuare il fenomeno consiste nella cancellazione delle oscillazioni agli estremi tramite combinazione lineare di soluzioni. Infatti, una qualunque combinazione lineare di polinomi interpolanti, verifica le condizioni sugli estremi relativi e sugli zeri.
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