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[¯|¯] Esame di maturità 2015 - prova di matematica (liceo scientifico)

Su un gruppo di Facebook dedicato alla Matematica c'è una discussione sul "lato oscuro" della prova di matematica all'esame di maturità 2015. Ecco uno screenshot del testo:

Il risultato "dovrebbe" essere n=4, cioè il grado minimo del polinomio è 4. Secondo alcuni utenti del suddetto gruppo, non esiste alcun polinomio di grado 4 che verifica le condizioni richieste. Ho provato ad impostare le varie condizioni per ciò che riguarda zeri, estremi relativi e flessi (tralasciando le condizioni sulle aree). Per n=4,5 non sono verificate tali condizioni.

Dopo uno scambio di idee sul gruppo di Matematica, ho rifatto i conti tralasciando le condizioni di massimo e minimo relativo. In altre parole ho imposto f'(x)=0 nei punti x=2,-1,1 con la condizione aggiuntiva f(0)=0. In tal modo, il minimo grado del polinomio non è 4 come risulta dal risultato "ufficiale", bensi 6.

È interessante notare che esistono oo^1 polinomi, dunque una famiglia ad un parametro che ho indicato con lambda. Le giuste soluzioni si ottengono per lambda negativo:

Per lambda=0 si ottiene il polinomio nullo (soluzione da scartare, ovviamente), mentre per lambda positivo si hanno soluzioni, per così dire, "speculari" per ciò che riguarda gli estremi relativi. Sfortuntamente, le oo^1 soluzioni per n=6 sono incompatibili con le condizioni sulle aree delle regioni contenute nel rettangoloide relativo alla funzione assegnata e di base l'intervallo [-3,3]. Quindi, è necessario provare con n maggiore di 6.
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Tags: analisi matematica, esame di maturità, liceo scientifico, polinomio, studio di funzione