Moto in un campo centrale. Energia potenziale efficace. Potenziale centrifugo
mercoledì, Marzo 17th, 2021In una lezione precedente abbiamo visto che un campo centrale è dato da
dove la funzione F:(0,+oo)->R è sufficientemente regolare. Per una proposizione dimostrata nella predetta lezione, un qualunque campo centrale è conservativo, e ha energia potenziale:
Il momento di F(r) rispetto all'origine delle coordinate è manifestamente nullo, per cui si conserva il momento della quantità di moto (o momento angolare) di un punto materiale che si muove in un campo centrale:
Se r0=r(t0),v0=v(t0) sono posizione e velocità iniziale del predetto punto, si ha che il valore della costante è il momento della quantità di moto iniziale:
ed è disposto come in fig. 1. Ne segue che il moto avviene nel piano α0 determinato dai vettori posizione e velocità iniziale, quindi è il piano passante per O e perpendicolare ad L0. Nel caso particolare in cui la velocità iniziale è parallela (o antiparallela) al vettore posizione iniziale, il momento della quantità di moto è nullo a tutti i tempi, per cui il moto è rettilineo. Orientando la terna di assi Oxyz con il piano coordinato xy coincidente con il piano del moto, si ha:
cosicché
Passiamo alle coordinate polari:
per cui
Quindi
Rammentando l'espressione analitica della velocità areolare, si ha:
Ne segue che un qualunque moto centrale conserva la velocità aereolare (Legge di Keplero). È preferibile passare dai versori i e j degli assi coordinati x,y ai versori er,eφ noti come rispettivamente come versore radiale e versore trasversale
Quindi nella nuova base ortonormale, il vettore posizione del punto materiale si scrive:
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