Derivata della funzione gradino unitario (unitstep)

domenica, Gennaio 24th, 2016

derivata,funzione gradino unitario, delta di dirac

In questo post esaminiamo un caso interessante di funzione non derivabile in un punto assegnato. Stiamo parlando della funzione gradino unitario o unit step, graficata qui:

Intuitivamente, la derivata prima di tale funzione esplode in singolarità quando ci avviciniamo a x=0 da sinistra, poichè la funzione "salta" da 0 a 1. Se invece marciamo verso l'origine da destra, la funzione è costantemente 1, per cui la derivata è nulla. Se però, utilizziamo delle "funzioni di prova" che approssimano la derivata, vediamo che la derivata della unit step altro non è che la delta di Dirac, come possiamo leggere nei seguenti appunti:
derivata_unitstep.pdf

Posted in Analisi Matematica I | No Comments »

[¯|¯] La curvatura della curva di Koch e il pettine di Dirac

giovedì, Febbraio 19th, 2015

Anche se è un risultato banale, è tuttavia un collegamento tra geometria frattale e la teoria delle distribuzioni. Stiamo parlando della curvatura della curva di Koch che può essere espressa attraverso un pettine di Dirac di ordine infinito non numerabile.

L'articolo (vedi link più sotto) inizia con qualche richiamo sulla funzione delta di Dirac, definendo poi il pettine di Dirac di ordine N, dimostrando che tale funzione generalizzata è la densità del numero di punti di una decomposizione di un intervallo [a,b]. Si passa poi al continuo eseguendo la consueta operazione di passaggio al limite per N->+oo, e definendo la curva di Kock generalizzata come una curva infinitamente spigolosa...
(altro…)