[¯|¯] Le curve integrali di questa equazione compongono una famiglia di parabole

giovedì, Agosto 17th, 2017

Equazioni differenziali,curve integrali,parabola
Fig. 1. Alcune curve integrali dell'equazione differenziale assegnata.


Integrare l'equazione differenziale:

Equazioni differenziali,curve integrali,parabola

Soluzione
L'equazione può essere scritta come:

Equazioni differenziali,curve integrali,parabola

per cui eseguiamo il cambio di variabile
Equazioni differenziali,curve integrali,parabola

Inoltre
Equazioni differenziali,curve integrali,parabola

Dal confronto delle ultime due equazioni

Equazioni differenziali,curve integrali,parabola

che è a variabili separabili in (x,t) ed ammette l'integrale costante (rispetto a t):
Equazioni differenziali,curve integrali,parabola

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[¯|¯] Quando le curve integrali non si intersecano

lunedì, Luglio 17th, 2017

equazioni differenziali,curve integrali, teorema esistenza ed unicità
Fig. 1. Alcune curve integrali dell'equazione differenziale assegnata

Una conseguenza del Teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria (in forma normale) è che le curve integrali non si intersecano. Per mostrare tale proprietà geometrica, consideriamo l'esempio banale di una equazione differenziale che si risolve per integrazione diretta:

equazioni differenziali,curve integrali, teorema esistenza ed unicità

Soluzione
Riesce

equazioni differenziali,curve integrali, teorema esistenza ed unicità

onde l'integrale generale:
equazioni differenziali,curve integrali, teorema esistenza ed unicità

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