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[¯|¯] Studio di un integrale generalizzato

sabato, Aprile 27th, 2019

integrali generalizzati, criteri di sommabilità,infinito di riferimento
Fig. 1

Esercizio
Discutere l'integrale generalizzato di fig. 1

Soluzione

La funzione integranda


ha una discontinuità di seconda specie in x=0 e in x=1, rispettivamente.

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[¯|¯] Alcune osservazioni sulle funzioni sommabili

sabato, Marzo 2nd, 2019

funzioni sommabili,criteri di sommabilità,teorema,condizioni sufficienti ma non necessarie
Fig. 1.

Abbiamo stabilito l'esistenza di una classe di funzioni continue in (-oo,+oo) ed ivi sommabili, pur non annullandosi all'infinito. La più generale funzione della predetta classe è:


ove b > 0, mentre η(x) se non è una costante è divergente all'infinito. invece, la funzione χ(x) è periodica. Ad esempio:

Per quanto stabilito:


Ciò è una conseguenza del fatto che i criteri di sommabilità esprimono condizioni sufficienti ma non necessarie. Nel caso particolare della sommabilità in un intervallo illimitato, si ha, ad esempio:


Ciò premesso, dimostriamo il teorema:

Teorema


Dim.

Per fissare le idee, supponiamo X=(a,+oo). Procediamo per assurdo, negando la tesi:


dove

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