[¯|¯] Studio di un integrale generalizzato

Aprile 27th, 2019 | by Marcello Colozzo |

integrali generalizzati, criteri di sommabilità,infinito di riferimento
Fig. 1

Esercizio
Discutere l'integrale generalizzato di fig. 1

Soluzione

La funzione integranda


ha una discontinuità di seconda specie in x=0 e in x=1, rispettivamente.










Inoltre, la predetta funzione è positiva in (0,1] per cui è ivi integrabile. Per stabilire l'eventuale sommabilità dobbiamo applicare un noto criterio sufficiente. Precisamente, calcoliamo l'ordine (se esiste) di infinito nel punto x=0. Assumendo come infinito di riferimento la funzione u(x)=1/x, si ha

Per x->1- possiamo assumere come infinito di riferimento la funzione v(x)=1/(1-x):

Cioè in entrambi i punti di discontinuità, la funzione è infinita di ordine 1/2, per cui riesce sommabile. Calcoliamo l'integrale:


da cui il risultato corretto.



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