Esercizio svolto sui campi centrali

mercoledì, Aprile 14th, 2021

campo centrale, esercizio svolto, meccanica razionale, spiegel

Risolviamo quest'esercizio di meccanica razionale/meccanica analitica.
Una particella di massa m si muove in un campo di forza dato da

Se essa parte sul semiasse positivo x a distanza D dall'origine e si muove con velocità v0 in una direzione che forma un angolo α con il predetto semiasse, si dimostri che l'equazione differenziale per la coordinata radiale r, è

Soluzione
L'energia potenziale del campo assegnato è

per cui il potenziale efficace è

e quindi l'equazione differenziale del moto

Le condizioni iniziali date dall'esercizio ci permettono di esplicitare la componente z del momento angolare. Infatti, orientando la solita terna inerziale con il piano xy coincidente con il piano orbitale, si ha innanzitutto:

Il momento angolare è

da cui il risultato.
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Il significato fisico del potenziale centrifugo

domenica, Aprile 11th, 2021

campo centrale,potenziale centrifugo,forza centrifuga — **Fig. 1**

Per quanto precede, il moto di una particella di massa m in un campo centrale di energia potenziale V(r), equivale a un moto unidimensionale in un campo di energia potenziale

Tale equivalenza non va presa alla lettera, giacché dobbiamo tener conto del grado di libertà angolare rappresentato dalla grandezza φ(t). Per ora stabiliamo il significato sifico del secondo termine dell'equazione precedente, noto come potenziale centrifugo. Per quanto stabilità in un numero precedente, la componente radiale dell'accelerazione della particella è

in cui riconosciamo la componente centripeta (secondo termine a secondo membro, incluso il segno -). Segue

per cui appare naturale assegnare un carattere centrifugo a tale forza. Si tratta comunque di una denominazione ambigua, giacché stiamo studiando il moto rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In ogni caso, la particella si muove in un campo centrale «efficace», come scritto in fig. 1 (seconda formula).
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