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[¯|¯] Il principio di equivalenza. Moto inerziale einsteiniano

Consideriamo una particella di prova in caduta libera (nel vuoto) nel campo gravitazionale terrestre. In generale, per il secondo principio della dinamica

Qui F è la risultante delle forze applicate. Ricordiamo che la relazione appena scritta non è altro che l'equazione differenziale del moto rispetto a un sistema di riferimento inerziale K. Nel caso in esame, l'unica forza agente sulla particella è il suo peso:

dove m_gr è la massa gravitazionale (che svolge il ruolo di carica gravitazionale), mentre g è l'accelerazione di gravità nel campo gravitazionale terrestre supposto uniforme. Segue

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[¯|¯] Il problema della cerbottana

Esercizio
Una cerbottana è puntata verso un bersaglio B, che nell'istante in cui viene sparato il proiettile, è lasciato in caduta libera (fig. 1).
Mostrare che il proiettile colpisce il bersaglio, qualunque sia la sua posizione iniziale, a patto che la cerbottana sia orientata verso B e che il proiettile venga sparato siimultaneamente alla caduta libera di B.
Trascurare la resistenza dell'aria).

Soluzione

Osserviamo innanzitutto che il moto del proiettile e il moto del bersaglio sono entrambi regolati dalla stessa equazione differenziale:

dove r è il vettore posizione di singolo punto materiale, mentre g è l'accelerazione di gravità.
Istituendo un sistema di assi coordinati come in fig. 1, si ha che in generale è r=xi+yj, g=-gj , essendo i e j i versori degli assi coordinati. Ciò che cambia sono le condizioni iniziali dei corpi in movimento. Più precisamente, risultano impostanti i seguenti problemi di Cauchy:

La cerbottana è orientata verso B se e solo se i vettori v₀ e r_0B sono paralleli e concordi:

o ciò che è lo stesso, le coordinate polari del bersaglio nell'istante iniziale τ, sono r_0Bs e l'angolo di lancio θ. Risolvendo i predetti problemi di Cauchy, si trova:

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