[¯|¯] Il principio di equivalenza. Moto inerziale einsteiniano |

[¯|¯] Il principio di equivalenza. Moto inerziale einsteiniano

Luglio 3rd, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Consideriamo una particella di prova in caduta libera (nel vuoto) nel campo gravitazionale terrestre. In generale, per il secondo principio della dinamica

Qui F è la risultante delle forze applicate. Ricordiamo che la relazione appena scritta non è altro che l'equazione differenziale del moto rispetto a un sistema di riferimento inerziale K. Nel caso in esame, l'unica forza agente sulla particella è il suo peso:

dove m_gr è la massa gravitazionale (che svolge il ruolo di carica gravitazionale), mentre g è l'accelerazione di gravità nel campo gravitazionale terrestre supposto uniforme. Segue

Per il principio di equivalenza nella forma galileiana, si ha

per cui l'equazione precedente si riscrive

In altri termini, particelle di prova di massa diversa si muovono in un campo gravitazionale uniforme con la stessa accelerazione. Ne consegue che un qualunque campo gravitazionale uniforme equivale a un'accelerazione. Ciò implica che per il nostro osservatore inerziale K che sta osservando la caduta libera di una particella di prova, non è possibile asserire se sulla particella agisce una forza gravitazionale o una forza differente (che sia in grado di produrre la stessa accelerazione). Inoltre, rispetto a un sistema di riferimento in caduta libera (rispetto al quale la particella è ovviamente in quiete), sulla particella non agisce alcuna forza o meglio, la risultante delle forze agenti è nulla. Ciò si esprime dicendo che un campo gravitazionale è eliminabile passando a un sistema di riferimento in caduta libera. Tale circostanza suggerì ad Einstein di classificare i moti inerziali come tutti e soli i moti in cui la risultante delle forze non gravitazionali è nulla. Ad esempio, un astronauta in caduta libera nel campo gravitazionale di un pianeta, compie un moto inerziale. Si osservi che nello schema newtoniano, un tale moto è ovviamente non inerziale.
Possiamo allora enunciare:
Principio di equivalenza

Un campo gravitazionale uniforme è localmente eliminabile

Nella geometria spazio-temporale il principio appena enunciato si traduce in

Cioè, comunque prendiamo un evento della varietà differenziabile M che rappresenta lo spaziotempo, esiste un intorno di tale punto in cui la metrica è riducibile alla metrica di Minkowsky. Per riducibilità intendiamo che è sempre possibile eseguire una trasformazione di coordinate in modo da avere una metrica pseudo-euclidea. Nella sezione precedente, abbiamo visto che la più generale metrica deve soddisfare la condizione di omogeneità (di grado 1) rispetto ai differenziali delle coordinate. Detto in altro modo, la metrica non deve dar luogo a un ds² che sia necessariamente una forma quadratica (metrica pseudo-riemanniana). Mostriamo ora, che la predetta riducibilità è possibile solo per le metriche pseudo-riemanniane:

A tale scopo, fissiamo ad arbitrio un evento (x₀^α) della varietà M, dopodiché eseguiamo la trasformazione di coordinate

Senza perdita di generalità:

Dal momento che dobbiamo posizionarci in un intorno di x₀^μ, prendiamo la trasformazione inversa

e la sviluppiamo in serie di Taylor troncata al primo ordine:

dove

Vediamo ora come si trasforma g_µν. Osserviamo innanzitutto che

onde

D'altra parte, nel nuovo sistema di coordinate

Ma ds² è un invariante:

dove abbiamo manifestamente una doppia somma sugli indici muti, per differenziali arbitrari delle coordinate. Quindi

In particolare

La nostra richiesta è

per cui

che è un sistema di 10 equazioni (si ricordi che η_αß è simmetrico rispetto agli indici), in cui g_μν(x₀) sono i coefficienti (assegnati), mentre gli elementi di matrice (jacobiana) A_α^µ sono le incognite. Tale sistema ammette sempre soluzioni non banali, definite a meno di un dato numero di parametri liberi.
Abbiamo così dimostrato che nella più generale varietà differenziabile pseudo-riemanniana è sempre possibile eseguire una trasformazione di coordinate che localmente dà luogo a una metrica di Minkowsky. Tale circostanza esprime matematicamente la possibilità di eliminare localmente un campo gravitazionale, e quin rappresenta in ultima istanza, il principio di equivalenza.

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