Determinare l'inviluppo delle ellissi coassiali con centro nell'origine, aventi un'area assegnata

martedì, Dicembre 22nd, 2020

ellissi coassiali,area,inviluppo
Fig. 1


Esercizio

Determinare l'inviluppo delle ellissi coassiali con centro nell'origine, aventi un'area assegnata πα2.


Soluzione
L'ellisse


forma un'area πab. La nostra richiesta è πab= α², da cui b = α²/a. Ne segue che l'ellisse


appartiene alla famiglia assegnata:

dove


Dobbiamo risolvere il sistema

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Determinare l'inviluppo delle rette che formano con gli assi coordinati un triangolo di area assegnata

martedì, Dicembre 22nd, 2020

retta,assi coordinati,area,inviluppo
Fig. 1


Esercizio

Determinare l'inviluppo delle rette che formano con gli assi coordinati un triangolo di area assegnata a2.


Soluzione
Denotiamo con A e B i punti di intersezione di una generica retta r con gli assi coordinati:


Ne consegue che OA e OB sono oi segmenti staccati da r sui predetti assi. Se p e q sono rispettivamente l'ascissa e l'ordinata di A e B, dalla Geometria analitica sappiamo che l'equazione ordinaria di r è:


L'area del triangolo rettangolo OAB è (1/2)pq, per cui la nostra richiesta si traduce in


per cui l'equazione della famiglia di rette che formano con li assi coordinati un triangolo di area a² è


avendo assunto come parametro il numero reale non nullo p. Applichiamo quindi il procedimento standard per la ricerca dell'inviluppo della famiglia Φ. Si ponga

Si tratta di risolvere il sistema di equazioni


La seconda può essere scritta come


e quindi x=p/2. Abbiamo così ottenuto la rappresentazione parametrica dell'inviluppo. Eliminando il parametro p otteniamo la rappresentazione cartesiana
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