» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Suriettività e iniettività di una funzione. Una questione controversa

Su un gruppo di Facebook dedicato alla Matematica, c'è stato uno scambio di idee con un utente. Ecco lo screenshot dell'osservazione sulle funzioni suriettive ed iniettive.

Rivediamo un attimo la nostra definizione di funzione suriettiva. A tale scopo denominiamo tale definizione con Definizione 01, mentre l'altra la chiamiamo Definizione 02.

Data la funzione (o applicazione):
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
y,\,\,\,\,\forall x\in X}{f:X\rightarrow Y}, \label{eq: definizione0102}%
\end{equation}
ricordiamo che $X$ è il dominio di $f$, mentre l'insieme $f\left(X\right) =\left\{ y\in Y\mid y=f\left( x\right) ,\,\,\forall x\in X\right\} \subseteq Y$ è il codominio di $f$ che nella Definizione 02
è indicato con il simbolo cod$\left( f\right)$ o $\operatorname{Im}%<br /> \left( f\right)$. Nella Definizione 01 la funzione (\ref{eq: definizione0102}) è suriettiva se e solo se $f\left( X\right)=Y$. Nella Definizione 02 abbiamo: comunque prendiamo un insieme $B\subseteq Y$, la funzione (\ref{eq: definizione0102}) è suriettiva se e solo se $B\subseteq f\left( X\right)$. Nel tentativo di comprendere la differenza tra queste due definizioni, consideriamo l'esempio seguente:

Esempio
Sia data la funzione esponenziale:
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
e^{x},\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}}{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}
\label{f:exp0102}%
\end{equation}
Qui è $X=Y=\mathbb{R}$ e $f\left( X\right) =\left( 0,+\infty\right)$, per cui secondo la Definizione 01, la funzione esponenziale non è suriettiva. Secondo la Definizione 02, invece, la funzione esponenziale è suriettiva su ogni insieme $B\subseteq\left( 0,+\infty\right)$.
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[¯|¯] Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive

Nella Lezione 2 abbiamo definito la nozione di funzione quale applicazione tra due insiemi qualsiasi non vuoti $X$ e $Y$:
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
y,\,\,\,\,\forall x\in X}{f:X\rightarrow Y}%
\end{equation}
Ricordiamo che $X$ è l'insieme di definizione o dominio della funzione,
mentre il seguente sottoinsieme di $Y$:

$$f\left( X\right) =\left\{ y\in Y\mid y=f\left( x\right) \right\} ,$$

Definizione 1
L'elemento $y\in f\left( X\right)$ che corrisponde a $x$, si dice immagine di $x$ mediante $f$.
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