[¯|¯] Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive

Settembre 29th, 2014 | by extrabyte |
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Nella Lezione 2 abbiamo definito la nozione di funzione quale applicazione tra due insiemi qualsiasi non vuoti e :
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
y,\,\,\,\,\forall x\in X}{f:X\rightarrow Y}%
\end{equation}
Ricordiamo che è l'insieme di definizione o dominio della funzione,
mentre il seguente sottoinsieme di :


è il codominio di $f$, detto anche immagine di mediante . Ciò premesso, sussistono le seguenti definizioni:

Definizione 1
L'elemento che corrisponde a , si dice immagine di mediante .









Definizione 2
Assegnato consideriamo il sottoinsieme di :
\begin{equation}
f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\mid y=f\left( x\right) \right\}
\subseteq X,\label{eq: fibra}%
\end{equation}
che si chiama anti-immagine o immagine inversa di mediante . L'insieme (\ref{eq: fibra}) è chiamato anche fibra di su .

Definizione 3
L'applicazione è iniettiva se:
\begin{equation}
x^{\prime}\not =x^{\prime\prime}\Longrightarrow f\left( x^{\prime}\right)
\not =f\left( x^{\prime\prime}\right) \label{eq: iniettiva}%
\end{equation}
Cioè, è iniettiva se elementi distinti di hanno immagini distinte. Si noti che la (\ref{eq: iniettiva}) è equivalente a:
\begin{equation}
f\left( x^{\prime}\right) =f\left( x^{\prime\prime}\right) \Longrightarrow
x^{\prime}=x^{\prime\prime}%
\end{equation}

Osservazione 1
Se è iniettiva, comunque prendiamo , è costituito da uno e un solo elemento.

Definizione 4
L'applicazione è suriettiva se , cioè se:

Osservazione 2
Se è suriettiva , .

Definizione
Un'applicazione che sia iniettiva e suriettiva si dice biiettiva.

Osservazione 3
Se è iniettiva, comunque prendiamo , è costituito da uno e un solo elemento.

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