Criterio del cerchio. Loop transformation

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Criterio del cerchio. Loop transformation

giovedì, Agosto 6th, 2020

Criterio del cerchio

Il criterio del cerchio consente di studiare la stabilità assoluta utilizzando solamente il diagramma di Nyquist di G(jω). Dato il diagramma possono essere determinati facilmente i settori ammissibili per i quali l'origine è assolutamente stabile. Si mostrerà solo il caso in cui la funzione non lineare appartiene al settore [0,+oo) in quanto è sempre possibile riportarsi a questo caso operando delle opportune trasformazioni, come descritte nel prossimo paragrafo. Si analizzerà prima il caso del settore [0,k], valutando in seguito come varia il risultato facendo tendere k ad infinito.

Loop transformation

Si vuole mostrare che è sempre possibile, tramite opportune trasformazioni, ricondursi allo studio delle nonlinearità appartenti al settore [0,+oo), potendo così limitarsi allo studio delle proprietà dei sistemi passivi.

Si consideri il sistema di Figura 1 con Σ_LTI descritto dalla funzione di trasferimento G(σ) e con φ appartenente a Φ_[k1,k2]. Si effettuino le trasformazioni descritte nella Figura 2 che vengono indicate come loop transformation [1].

schema di retroazione nella forma di Lur'e — **Fig. 1**

Si ottiene un nuovo sistema a ciclo chiuso, rappresentato in Figura 5 che si dimostra essere equivalente allo schema di partenza.

sistema a ciclo chiuso nelle variabili trasformate. — **Fig. 3. Sistema a ciclo chiuso nelle variabili trasformate.**

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Interconnessione di sistemi

mercoledì, Agosto 5th, 2020

Per lo studio della stabilità dei sistemi interconnessi è conveniente usare il formalismo della stabilità ingresso-uscita, nello spazio L₂ delle funzioni a quadrato sommabile, ovvero ad energia finita. Si interpreta un sistema come un mappa, o operatore, y=H(u), che lega l'uscita y all'ingresso u, segnale che mappa l'intervallo [0,+oo) nello spazio Euclideo R^m. Un sistema si dice stabile L₂ con guadagno finito se esistono delle costanti γ e ß tali che

per ogni u appartenente a L₂. Quando il valore di γ è ben definito esso è chiamato guadagno del sistema. Se la predetta disuguaglianza è soddisfatta per ogni

la mappa H si dice stabile L₂ per piccoli segnali con guadagno finito [1]

Si considerino due generici sistemi scalari H₁ e H₂, entrambi stabili L₂ con guadagno finito, connessi in retroazione come in Figura 1, con le ipotesi:

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