Criterio del cerchio. Loop transformation

Agosto 6th, 2020 | by Gianluca Angelone |

Criterio del cerchio

Il criterio del cerchio consente di studiare la stabilità assoluta utilizzando solamente il diagramma di Nyquist di G(jω). Dato il diagramma possono essere determinati facilmente i settori ammissibili per i quali l'origine è assolutamente stabile. Si mostrerà solo il caso in cui la funzione non lineare appartiene al settore [0,+oo) in quanto è sempre possibile riportarsi a questo caso operando delle opportune trasformazioni, come descritte nel prossimo paragrafo. Si analizzerà prima il caso del settore [0,k], valutando in seguito come varia il risultato facendo tendere k ad infinito.

Loop transformation

Si vuole mostrare che è sempre possibile, tramite opportune trasformazioni, ricondursi allo studio delle nonlinearità appartenti al settore [0,+oo), potendo così limitarsi allo studio delle proprietà dei sistemi passivi.

Si consideri il sistema di Figura 1 con Σ_LTI descritto dalla funzione di trasferimento G(σ) e con φ appartenente a Φ_[k1,k2]. Si effettuino le trasformazioni descritte nella Figura 2 che vengono indicate come loop transformation [1].

schema di retroazione nella forma di Lur'e — **Fig. 1**

Si ottiene un nuovo sistema a ciclo chiuso, rappresentato in Figura 5 che si dimostra essere equivalente allo schema di partenza.

sistema a ciclo chiuso nelle variabili trasformate. — **Fig. 3. Sistema a ciclo chiuso nelle variabili trasformate.**

Il sistema lineare equivalente è:

Per la funzione nonlineare si verifica facilmente che:

In termini matriciali:

Essendo chiaramente

la trasformazione è invertibile e quindi gli schemi di Figura 1 e Figura 3 sono equivalenti.

Possiamo vedere come si modifica il settore con la loop trasformation introdotta. In altri termini se

vogliamo vedere a quale settore appartiene

Basta considerare l'inversa della relazione matriciale scritta più sopra:

Se consideriamo il rapporto

in funzione di

otteniamo

da cui si evince che il settore di partenza è stato trasformato nel settore Φ_[0,+oo), e la non linearità equivalente è passiva.
Si noti che la relazione precedente vale anche nel caso dei settori incrementali, cioè se

attraverso la loop transformation si avrà che φ(·) apparterrà Φ_[0,+oo)⁽ⁱ⁾.
Nella trasformazione di Figura 2 spesso è utile considerare, invece di k₂,