Teoria Dei Numeri | » Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Archive for the ‘Teoria dei numeri’ Category

Test di primalità con il «primoriale»

lunedì, Gennaio 9th, 2023

Riceviamo e pubblichiamo un lavoro di Vincenzo Sambito sui test di primalità.

L'articolo esordisce con il Teorema di Wilson ponendo l'attenzione sul carico computazionale del relativo test, proponendone poi un altro basato sul primoriale che è l'analogo del fattoriale, con la differenza che mentre il fattoriale di n è il prodotto dei primi n interi naturali, il primoriale di n è il prodotto dei numeri primi minori o uguali di n. Ci si aspetta, dunque, una andamento "meno veloce" in funzione di n. Più precisamente, il primoriale di n è proporzionale al logaritmo naturale di n. Da qui la possibilità di implementare un test di primalità più veloce.

Con l'introduzione di un algoritmo generativo di numeri primi, frutto dell'appicazione di una misteriosa Ipotesi, si ottiene un risultato concreto. Quindi non solo teoremi e ipotesi ma una applicazione pratica.

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Le parabole di Eulero e i numeri primi (Euler's parables and prime numbers)

domenica, Dicembre 4th, 2022

«Ci sono misteri che la mente umana non penetrerà mai. Per convincercene, non dobbiamo fare altro che gettare un'occhiata alle tavole dei numeri primi. Ci accorgeremo che non vi regna né ordine né legge».
Eulero, 1751

Eulero scoprì una legge empirica di distribuzione degli elementi di un sottoinsieme dell'insieme dei numeri primi.
Si consideri la famiglia (finita) di parabole ad un parametro:

Si noti che i valori assunti dal parametro libero q sono numeri primi. Nell'argomento di p(x) passiamo dai reali agli interi naturali:

Eulero verificò che per n=0,...,q-2, l'intero naturale p(n) è un numero primo. Si badi tuttavia che p(n) e p(n+1) non sono successivi. Per fissare le idee, prendiamo q=39. In tal caso, l'equazione precedente restituisce la lista graficata in fig. 1.