[¯|¯] Introduzione alle equazioni differenziali con Mathematica

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[¯|¯] Introduzione alle equazioni differenziali con Mathematica

giovedì, Ottobre 10th, 2019

equazioni differenziali ordinarie, mathematica,dsolve,ndsolve

Diamo lo start up ad una serie di handbook su Mathematica per ciò che riguarda le equazioni differenziali.
Argomenti di oggi:

Integrazione simbolica. L'istruzione DSolve e le costanti di integrazione. Problemi di Cauchy. Soluzioni non elementarmente esprimibili. Il caso dell'equazione di Schrödinger stazionaria per un potenziale lineare.
Integrazione numerica. L'istruzione NDSolve e gli oggetti InterpolatingFunction. Aumento del MaxSteps. Uscita da un loop infinito in caso di singolarità
Sistemi caotici: l'attrattore di Lorentz

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[¯|¯] Generalizzazione del modello preda-predatore di Lotka-Volterra

lunedì, Giugno 17th, 2019

modello preda-predatore di Lotka-Volterra,mathematica,brown noise

In quest'articolo proponiamo una generalizzazione del modello preda-predatore di Lotka-Volterra. Precisamente, denotando con x(t) e y(t) le popolazioni (opportunatamente normalizzate) in funzione del tempo di un ecosistema a due componenti ove x rappresenta la preda e y il predatore, si ha:

dove abbiamo denotato le derivate rispetto al tempo utilizzando la notazione puntata. Per semplicità assumiamo pari a 1 i singoli coefficienti di proporzionalità, per cui

che compongono un sistema di due equazioni differenziali del primo ordine. Osserviamo che in entrambe, il termine quadratico -x² (o -y²) rappresenta l'interazione con l'ambiente, nel senso che quest'ultimo dispone di una quantità limitata di risorse. Diversamente e in assenza di predatori, il sistema precedente si riduce all'equazione differenziale

ovvero a una crescita esponenziale e^t. Di contro, la quantità limitata di risorse determina una diminuzione della velocità di crescita in entrambe le popolazioni. Al sistema precedente, vanno aggiunte le condizioni iniziali

onde viene a definirsi un problema di Cauchy compatibile e determinato. Assumendo x₀=y₀=7 e risolvendo tale problema con Mathematica, otteniamo il grafico:

Da tale diagramma vediamo che dopo un transitorio iniziale, il sistema tende a una configurazione di equilibrio in cui il numero di prede è pari al numero di predatori.

(altro…)