» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Componenti di un vettore in una base ortonormale. Matrici unitarie

Sia {e_i} una base ortonormale di uno spazio unitario n-dimensionale V. Quindi

Quindi in una base ortonormale lo sviluppo di un qualunque vettore come combinazione lineare dei vettori di base, assume la forma:

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Ortogonalizzazione di Schmidt

Teorema
Ogni spazio unitario ammette basi ortonormali

Dim.

Sia {e_i} una qualunque base non ortonormale di uno spazio unitario V. Costruiamo una nuova base {f_i}} attraverso il seguente procedimento:

Sviluppando il determinante:

Dalla definizione di f₂ segue

Sviluppando il determinante si perviene:

Per k=3,...,n

Si ha:

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