Parametrizzazione di SU(2). Le matrici di Pauli

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Parametrizzazione di SU(2). Le matrici di Pauli

giovedì, Maggio 20th, 2021

parametrizzazione di SU(2),matrici di pauli

Nel numero precedente abbiamo visto che la più generale matrice unitaria di ordine 2 è

Per ω=0 la matrice è unimodulare i.e. appartiene al sottogruppo SU(2):

La relazione appena scritta è una parametrizzazione di SU(2). Una parametrizzazione notevole è nei parametri (
n,θ) essendo θ reale, mentre n è un versore dello spazio ordinario. Risulta:

dove σ è il vettore delle matrici di Pauli (fig. 1). Alcune proprietà notevoli:

essendo

Per passare dalla rappresentazione (α,ß) alla rappresentazione (n,θ), scriviamo

Calcolando

si perviene a

Le formule appena trovate ci permettono di passare da una rappresentazione all'altra.

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Gruppo U(n) delle matrici unitarie. Sottogruppo SU(2) di U(2)

mercoledì, Maggio 19th, 2021

Comunque prendiamo una matrice unitaria di ordine n, si ha:

Denotiamo con U(n) l'insieme delle matrici unitarie di ordine n. Mostriamo che il prodotto righe per colonne è una legge di composizione interna per il predetto insieme. Infatti:

Tale legge di composizione verifica le seguenti proprietà:

Ne segue che l'introduzione dell'operazione righe per colonne, con le proprietà appena viste, conferisce all'insieme U(n)la struttura di gruppo non abeliano, in quanto il prodotto righe per colonne non è commutativo. Per applicazioni in Meccanica quantistica è utile considerare il gruppo U(2). La più generale matrice unitaria di ordine 2 si può scrivere: