» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Introduzione all'equazione di Boltzmann. Caos molecolare. Nucleo di transizione

Ricapitolando, assegnato un sistema di meccanico di N » 1 particelle, per studiarne l'evoluzione dinamica, anziché focalizzarsi sull'impossibile compito di determinare lo stato iniziale di singola particella, ci si concentra sullo spazio delle fasi (spazio µ) di ciascun costituente, attraverso una funzione di distribuzione f(q,p,t) i.e. densità del numero di punti rappresentativi di singolo sistema che modellizza la singola particella. Stiamo argomentando in astratto, anche se in realtà parleremo di molecole in virtù delle ricadute in termodinamica di tale approccio.

Ciò premesso, il primo step consiste nel ricavare un'equazione differenziale (se non un'equazione integro-differenziale) per la funzione f(q,p,t). Qui si aprono due strade diverse:

1. Maxwell

   Si assume f non dipendente esplicitamente dal tempo, cioè f(q,p). Da un punto di vista fisico significa che il sistema ha raggiunto l'equilibrio, e l'approccio di Maxwell consiste nello studio della stabilità dell'equilibrio.

2. Boltzmann

   Al contrario, Boltzmann riferendosi ai risultati raggiunti dalla termodinamica, era interessato alla modalità del raggiungimento dell'equilibrio attraverso gli urti tra particelle (molecole). Dunque, per Boltzmann è f(q,p,t).

Seguendo quest'ultimo approccio, la derivata totale della funzione di distribuzione si scrive con ovvio significato dei simboli:

Posted in Meccanica Statistica | No Comments »

Teoria cinetica dei gas (la funzione di distribuzione)

Sia dato un gas di N molecole (identiche) confinato in un volume V. Non facciamo alcuna ipotesi sull'equilibrio termodinamico di tale sistema, supponendo comunque i seguenti ordini di grandezza per temperatura, pressione e numero di molecole:

Nel paradigma della meccanica classica, siamo tentati a determinare l'evoluzione dinamica delle singole molecole (schematizzate attraverso punti materiali), tramite la conoscenza delle forze agenti (interazioni molecola-molecola, campi esterni) e dello stato meccanico iniziale (posizione e velocità iniziale di singola molecola). Ciò è manifestamente improponibile, per cui si preferisce un approccio alternativo, fondamentalmente basato sul cosiddetto spazio µ i.e. lo spazio delle fasi di singola molecola - inteso quale luogo dei punti rappresentativi di singola molecola:

per cui dimµ=6. Il problema che si apre consiste nel determinare come si distribuiscono nel predetto spazio i punti rappresentativi di singola molecola. A tale scopo, eseguiamo una partizione di µ in celle di ugual volume Δ, per enumerare i singoli punti rappresentativi. Precisamente, denotiamo con ν(Δ,t) il numero di punti rappresentativi al tempo t, nella cella di volume Δ. Quest'ultima è centrata in un dato punto (q,p) dello spazio µ, per cui verrà a dipendere anche da tali variabili. Segue che la grandezza

definisce la densità media del numero di punti rappresentativi. Ed è proprio questa la grandezza che ci interessa, giacché fornisce una informazione sulla distribuzione dei predetti punti. Per svincolarci da Δ, eseguiamo l'operazione di passaggio al limite:

Posted in Meccanica Statistica | No Comments »