Archive for the ‘Meccanica Statistica’ Category

«Gas» di francobolli

venerdì, Febbraio 25th, 2022

distribuzione di boltzmann,meccanica statistica,gas perfetto


Il sistema fisico in esame è composto da N particelle (=francobolli) non interagenti e «appoggiate» sulla scrivania. Ne segue che le forze agenti sulla singola particella, sono: P=mg (peso) e la reazione normale del vincolo R=-P, per cui la particella è è in quiete. Tuttavia, abbiamo una energia termica:

dove kB è la costante di Boltzmann e T la temperatura di equilibrio termodinamico. Siccome stiamo considerando «oggetti classici» (più precisamente, un gas ideale di particelle), la funzione di distribuzione (i.e. densità di probabilità) di trovare una particella nell'elemento di volume dV=dxdydz, è

dove H(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}) è l'hamiltoniana di singola particella, mentre A è una costante di normalizzazione, cioè tale che

da cui

nota come distribuzione di Boltzmann. Nel nostro caso l'hamiltoniana di singola particella è H(x,y,z)=V(x,y,z) essendo questa l'energia potenziale del campo di forze gravitazionali. Precisamente, orientando la terna di assi cartesiani Oxyz con il piano coordinato xy coincidente con il piano della scrivania, e l'asse z orientato verso l'alto, si ha V(z)=mgz. Quindi la probabilità di trovare un francobollo alla quota z è

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Potenziale chimico

martedì, Febbraio 1st, 2022

potenziale chimico, gran potenziale, potenziali termodinamici


Ricordiamo velocemente che il primo principio della termodinamica per un processo reversibile di un sistema termodinamico che compie lavoro meccanico attraverso le forze di pressione, si scrive in forma differenziale

dove: U è l'energia interna, S è l'entropia, P è la pressione, V è il volume. Infatti, per un processo reversibile la quantità di calore scambiata è

per cui matematicamente, 1/T è un fattore integrante che trasforma dQ in un differenziale esatto cioè in dS. Di contro, per un processo irreversibile

ovvero l'entropia aumenta indipendentemente dalla quantità di calore assorbita dal sistema. Ciò implica l'inequazione di Clausius:


ove il segno di uguale sussiste solo per i processi reversibili. Dalla equazione più sopra:


Cioè l'energia interna U(S,V) si comporta alla stregua di un potenziale rispetto alle variabili S,V. Ricordamo che l'entalpia (o funzione termica) è definita


per cui


Quindi

Pertanto l'entalpia è un potenziale rispetto alle variabili S,P. Abbiamo poi l'energia libera


il cui differenziale totale è


Si tratta dunque di un potenziale rispetto alle variabili V,T:


Rimangono le variabili P,T. Per definire un potenziale rispetto a esse, scriviamo


che sostituita nella eq. precedente

Pertanto definiamo il potenziale termodinamico

Le grandezze H,F,Φ sono additive, esattamente come U,S. L'addività ci consente di esprimere tali grandezze in funzione del numero di particelle del sistema termodinamico in istudio. Senza perdita di generalità, consideriamo un sistema composto da N particelle identiche (atomi o molecole). Prendiamo l'energia interna che per quanto precede è U(S,V) dove S,V sono additive. Immaginando il sistema come l'unione di un numero arbitrario r di sottosistemi si ha che per ciascuno di essi l'energia interna è

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