Teoria cinetica dei gas (la funzione di distribuzione)

Gennaio 2nd, 2022 | by Marcello Colozzo |

teoria cinetica dei gas,funzione di distribuzione, spazio mu

Sia dato un gas di N molecole (identiche) confinato in un volume V. Non facciamo alcuna ipotesi sull'equilibrio termodinamico di tale sistema, supponendo comunque i seguenti ordini di grandezza per temperatura, pressione e numero di molecole:

Nel paradigma della meccanica classica, siamo tentati a determinare l'evoluzione dinamica delle singole molecole (schematizzate attraverso punti materiali), tramite la conoscenza delle forze agenti (interazioni molecola-molecola, campi esterni) e dello stato meccanico iniziale (posizione e velocità iniziale di singola molecola). Ciò è manifestamente improponibile, per cui si preferisce un approccio alternativo, fondamentalmente basato sul cosiddetto spazio µ i.e. lo spazio delle fasi di singola molecola - inteso quale luogo dei punti rappresentativi di singola molecola:

per cui dimµ=6. Il problema che si apre consiste nel determinare come si distribuiscono nel predetto spazio i punti rappresentativi di singola molecola. A tale scopo, eseguiamo una partizione di µ in celle di ugual volume Δ, per enumerare i singoli punti rappresentativi. Precisamente, denotiamo con ν(Δ,t) il numero di punti rappresentativi al tempo t, nella cella di volume Δ. Quest'ultima è centrata in un dato punto (q,p) dello spazio µ, per cui verrà a dipendere anche da tali variabili. Segue che la grandezza

definisce la densità media del numero di punti rappresentativi. Ed è proprio questa la grandezza che ci interessa, giacché fornisce una informazione sulla distribuzione dei predetti punti. Per svincolarci da Δ, eseguiamo l'operazione di passaggio al limite:

essendo (q,p) il generico punto in cui è centrata la cella di volume Δ. Si noti che tale operazione di passaggio al limite ha un significato puramente formale, a causa della natura particellare del sistema fisico in istudio. Tuttavia, presenta l'indiscutibile vantaggio di rendere più maneggevole la funzione di distribuzione, poiché ora abbiamo una grandezza che varia con continuità. Chiameremo, dunque, funzione di distribuzione (vedi più sopra). Ne segue che il numero di punti rappresentativi che al tempo t sono confinati in una regione finita Ω dello spazio µ, è

Abbiamo poi l'ovvia condizione di normalizzazione:

Se poi la distribuzione è uniforme i.e. indipendente dalle coordinate spaziali, f(p,t) ne segue che denotando con D il dominio tridimensionale rappresentativo del contenitore di volume V, si ha: