Nel numero precedente abbiamo visto che è possibile selezionare un sistema di autofunzioni dell'energia a simmetria definita. Questa selezione non è sempre immediata nel senso che occorrono considerazioni di carattere generale. Consideriamo il caso più semplice: un sistema di due particelle identiche prive di spin e disaccoppiate (i.e. non interagenti). L'hamiltoniano del sistema si decompone nella somma degli hamiltoniani di singola particella
Supponiamo che lo spettro dei singoli hamiltoniani sia puramente discreto e non degenere:
L'equazione agli autovalori per l'hamiltoniano del sistema si scrive:
Esplicitiamo il primo membro
che confrontata con la precedente, restituisce:
Risultato banale, in quanto l'hamiltoniano del sistema è la somma degli hamiltoniani di singola particella. L'aspetto significativo di questo risultato, però, è la possibilità di introdurre un numero quantico n per l'intero sistema: n=f(n1,n2) e tale dipendenza dipende dall'energia potenziale. Quindi
Anche se gli spettri dei singoli hamiltoniani sono non degeneri per ipotesi, ci si aspetta una degenerazione dell'hamiltoniano del sistema, che denotiamo con gn, con g0=1 giacché il livello fondamentale non è mai degenere. Riscriviamo dunque
Ne segue che il generico autospazio è
Rammentando che un autospazio corrispondente all'autovalore En è il sottospazio generato dai corrispondenti autovettori, si ha che ogni suo elemento si esprime come combinazione lineare dei predetti autovettori. Ciò implica che possiamo costruire delle combinazioni lineari degli autovettori corrispondenti a En che sono simmetrici o antisimmetrici rispetto allo scambio delle particelle. Passando alle autofunzioni:
Supponiamo che il sistema a due particelle identiche e prive di spin, sia isolato per cui l'hamiltoniano si può scrivere
quale operatore essenzialmente autoaggiunto (hermitiano per brevità, anche se impreciso) nello spazio di Hilbert del sistema:
Senza perdita di generalità, supponiamo che lo spettro dell'hamiltoniano sia puramente discreto e non degenere, i.e.
Per quanto visto nel numero precedente, l'operatore di scambio commuta con l'hamiltoniano quindi hanno un sistema di autofunzioni simultaneo. Ed è un sistema ortonormale completo nel suddetto spazio di Hilbert. Ne segue che possiamo selezionare un sistema di autofunzioni dell'energia a simmetria definita:
Dal momento che P è anche hermitiano, lo spazio di Hilbert si decompone nella somma diretta dei corrispondenti autospazi:
dove l'implicazione deriva da una nota proprietà della somma diretta, secondo cui l'intersezione dei singoli sottospazi è il sottospazio improprio (cioè costituito dal solo vettore nullo che come è noto, è privo di interpretazione fisica in quanto per definizione un autovettore è non nullo).
Ciò premesso, supponiamo di aver preparato il sistema inizialmente (t=0) in una sovrapposizione lineare di autostati dell'energia:
L'evoluto temporale è
In termini di funzione d'onda:
Si ricordi che i coefficienti della combinazione lineare sono le ampiezze di probabilità di ottenere un determinato autovalore dell'energia, in seguito a un'operazione di misura della stessa. Per essere più specifici, supponiamo che a t=t1 venga eseguita una misura dell'energia:
Cioè la funzione d'onda collassa in uno delle autofunzioni dell'energia, che qui abbiamo labellato con k, e il risultato della misura è il corrispondente autovalore. Fin qui nulla di strano, in quanto ben noto dalla dinamica quantistica di un sistema a una particella. Notiamo però che l'autofunzione ottenuta ha una simmetria definita. In altre parole, abbiamo preparato il sistema in una sovrapposizione lineare di autostati dell'energia, ma anche dell'operatore di scambio. Lo stato iniziale non ha una simmetria definita, però se misuriamo l'energia il sistema collassa in uno stato a simmetria definita. E rimarrà in tale stato per tutti i tempi futuri. Se però consideriamo un'altra osservabile A che non commuta con l'hamiltoniano, si ha:
dove abbiamo sviluppato lo stato del sistema in autofunzioni di A. Quest'ultimo è comunque compatibile con l'operatore di scambio, per cui le sue autofunzioni hanno simmetria definita (o almeno possiamo selezionarle). Per quanto detto, lo stato a tempi successivi a t1 è
Se a t2 > t1 eseguiamo una misura di A
Cioè la funzione d'onda collassa in uno delle autofunzioni di A, che qui abbiamo labellato con r, e il risultato della misura è il corrispondente autovalore. Ma le autofunzioni di A hanno simmetria definita, per cui lo stato del sistema ha una simmetria definita, che necessariamente coincide con quella della funzione d'onda prima di eseguire la misura, giacché la simmetria è una costante del moto (l'operatore di scambio commuta con l'hamiltoniano).
Congettura di Riemann
Trasformata discreta di Fourier
Trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni
Trasformata di Fourier 
Infinitesimi ed infiniti
Limiti notevoli
Punti di discontinuità
Misura di Peano Jordan
Eserciziario sugli integrali
Differenziabilità 
Differenziabilità (2)
Esercizi sui limiti
Appunti sulle derivate
Studio della funzione
Esercizi sugli integrali indefiniti
Algebra lineare
Analisi Matematica 2
Analisi funzionale
Entanglement quantistico
Spazio complesso
Biliardo di Novikov
Intro alla Meccanica quantistica
Entanglement Quantistico
