Lo spettro dell'operatore di scambio è degenere infinite volte

Maggio 10th, 2021 | by Marcello Colozzo |

operatore di scambio, spettro


Lo spettro dell'operatore di scambio è infinite volte degenere: a ciascun autovalore corrispondono infinite autofunzioni linearmente indipendenti. Più precisamente, si considerino i rispettivi autospazi:

Si noti che è necessario includere il vettore nullo, affinché i predetti autospazi siano sottospazi vettoriali (si ricordi che un autovettore è per definizione diverso dal vettore nullo). Per quanto precede:


Per una nota proprietà:

cioè lo spazio di Hilbert associato al sistema a due particelle indistinguibili, si decompone nella somma diretta dei predetti autospazi. Ciò implica che ogni vettore si decompone univocamente nella somma di due vettori di tali sottospazi


In termini di funzioni d'onda:

Una richiesta fisicamente ragionevole è la seguente: il valore di aspettazione di una qualunque osservabile associata al sistema a due particelle indistinguibili che etichettiamo con gli interi naturali 1 e 2, è invariante rispetto allo scambio delle particelle (cioè scambiamo la 1 con la 2).

Ne segue che A e P hanno un sistema completo di autofunzioni simultanee.

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