Stati simmetrici e stati antisimmetrici

Maggio 12th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Nel numero precedente abbiamo visto che è possibile selezionare un sistema di autofunzioni dell'energia a simmetria definita. Questa selezione non è sempre immediata nel senso che occorrono considerazioni di carattere generale. Consideriamo il caso più semplice: un sistema di due particelle identiche prive di spin e disaccoppiate (i.e. non interagenti). L'hamiltoniano del sistema si decompone nella somma degli hamiltoniani di singola particella


Supponiamo che lo spettro dei singoli hamiltoniani sia puramente discreto e non degenere:


L'equazione agli autovalori per l'hamiltoniano del sistema si scrive:

Esplicitiamo il primo membro


che confrontata con la precedente, restituisce:

Risultato banale, in quanto l'hamiltoniano del sistema è la somma degli hamiltoniani di singola particella. L'aspetto significativo di questo risultato, però, è la possibilità di introdurre un numero quantico n per l'intero sistema: n=f(n1,n2) e tale dipendenza dipende dall'energia potenziale. Quindi


Anche se gli spettri dei singoli hamiltoniani sono non degeneri per ipotesi, ci si aspetta una degenerazione dell'hamiltoniano del sistema, che denotiamo con gn, con g0=1 giacché il livello fondamentale non è mai degenere. Riscriviamo dunque


Ne segue che il generico autospazio è


Rammentando che un autospazio corrispondente all'autovalore En è il sottospazio generato dai corrispondenti autovettori, si ha che ogni suo elemento si esprime come combinazione lineare dei predetti autovettori. Ciò implica che possiamo costruire delle combinazioni lineari degli autovettori corrispondenti a En che sono simmetrici o antisimmetrici rispetto allo scambio delle particelle. Passando alle autofunzioni:


si ha

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