Stati simmetrici e stati antisimmetrici

Maggio 12th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Nel numero precedente abbiamo visto che è possibile selezionare un sistema di autofunzioni dell'energia a simmetria definita. Questa selezione non è sempre immediata nel senso che occorrono considerazioni di carattere generale. Consideriamo il caso più semplice: un sistema di due particelle identiche prive di spin e disaccoppiate (i.e. non interagenti). L'hamiltoniano del sistema si decompone nella somma degli hamiltoniani di singola particella

Supponiamo che lo spettro dei singoli hamiltoniani sia puramente discreto e non degenere:

L'equazione agli autovalori per l'hamiltoniano del sistema si scrive:

Esplicitiamo il primo membro

che confrontata con la precedente, restituisce:

Risultato banale, in quanto l'hamiltoniano del sistema è la somma degli hamiltoniani di singola particella. L'aspetto significativo di questo risultato, però, è la possibilità di introdurre un numero quantico n per l'intero sistema: n=f(n1,n2) e tale dipendenza dipende dall'energia potenziale. Quindi

Anche se gli spettri dei singoli hamiltoniani sono non degeneri per ipotesi, ci si aspetta una degenerazione dell'hamiltoniano del sistema, che denotiamo con g_n, con g₀=1 giacché il livello fondamentale non è mai degenere. Riscriviamo dunque

Ne segue che il generico autospazio è

Rammentando che un autospazio corrispondente all'autovalore E_n è il sottospazio generato dai corrispondenti autovettori, si ha che ogni suo elemento si esprime come combinazione lineare dei predetti autovettori. Ciò implica che possiamo costruire delle combinazioni lineari degli autovettori corrispondenti a E_n che sono simmetrici o antisimmetrici rispetto allo scambio delle particelle. Passando alle autofunzioni: