Il collasso della funzione d'onda di un sistema a due particelle identiche

Maggio 11th, 2021 | by Marcello Colozzo |

funzione d'onda, collasso, particelle indistinguibili


Supponiamo che il sistema a due particelle identiche e prive di spin, sia isolato per cui l'hamiltoniano si può scrivere


quale operatore essenzialmente autoaggiunto (hermitiano per brevità, anche se impreciso) nello spazio di Hilbert del sistema:

Senza perdita di generalità, supponiamo che lo spettro dell'hamiltoniano sia puramente discreto e non degenere, i.e.

Per quanto visto nel numero precedente, l'operatore di scambio commuta con l'hamiltoniano quindi hanno un sistema di autofunzioni simultaneo. Ed è un sistema ortonormale completo nel suddetto spazio di Hilbert. Ne segue che possiamo selezionare un sistema di autofunzioni dell'energia a simmetria definita:


Dal momento che P è anche hermitiano, lo spazio di Hilbert si decompone nella somma diretta dei corrispondenti autospazi:

dove l'implicazione deriva da una nota proprietà della somma diretta, secondo cui l'intersezione dei singoli sottospazi è il sottospazio improprio (cioè costituito dal solo vettore nullo che come è noto, è privo di interpretazione fisica in quanto per definizione un autovettore è non nullo).

Ciò premesso, supponiamo di aver preparato il sistema inizialmente (t=0) in una sovrapposizione lineare di autostati dell'energia:


L'evoluto temporale è


In termini di funzione d'onda:

Si ricordi che i coefficienti della combinazione lineare sono le ampiezze di probabilità di ottenere un determinato autovalore dell'energia, in seguito a un'operazione di misura della stessa. Per essere più specifici, supponiamo che a t=t1 venga eseguita una misura dell'energia:

Cioè la funzione d'onda collassa in uno delle autofunzioni dell'energia, che qui abbiamo labellato con k, e il risultato della misura è il corrispondente autovalore. Fin qui nulla di strano, in quanto ben noto dalla dinamica quantistica di un sistema a una particella. Notiamo però che l'autofunzione ottenuta ha una simmetria definita. In altre parole, abbiamo preparato il sistema in una sovrapposizione lineare di autostati dell'energia, ma anche dell'operatore di scambio. Lo stato iniziale non ha una simmetria definita, però se misuriamo l'energia il sistema collassa in uno stato a simmetria definita. E rimarrà in tale stato per tutti i tempi futuri. Se però consideriamo un'altra osservabile A che non commuta con l'hamiltoniano, si ha:

dove abbiamo sviluppato lo stato del sistema in autofunzioni di A. Quest'ultimo è comunque compatibile con l'operatore di scambio, per cui le sue autofunzioni hanno simmetria definita (o almeno possiamo selezionarle). Per quanto detto, lo stato a tempi successivi a t1 è


Se a t2 > t1 eseguiamo una misura di A

Cioè la funzione d'onda collassa in uno delle autofunzioni di A, che qui abbiamo labellato con r, e il risultato della misura è il corrispondente autovalore. Ma le autofunzioni di A hanno simmetria definita, per cui lo stato del sistema ha una simmetria definita, che necessariamente coincide con quella della funzione d'onda prima di eseguire la misura, giacché la simmetria è una costante del moto (l'operatore di scambio commuta con l'hamiltoniano).

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