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L'evoluta di un asteroide è un asteroide di ampiezza doppia, ruotato di pi/4

mercoledì, Dicembre 30th, 2020

In quest'articolo dimostriamo un importante teorema secondo cui, l'evoluta di un asteroide è a sua volta un asteroide. Precisamente, è un asteroide di ampiezza doppia e ruotato di pi/4.
La dimostrazione del teorema è essenzialmente basata sul calcolo diretto delle coordinate cartesiane del centro di curvatura, e quindi della rappresentazione parametrica dell'evoluta (si ricordi che l'evoluta è il luogo dei centri di curvatura di una curva data). Ma ciò non basta, perchè non è chiara la natura della curva. Dobbiamo 1) eseguire una riparametrizzazione; 2) eseguire una rotazione di pi/4 degli assi coordinati. Quest'ultima operazione viene eseguita con il formalismo delle matrici di rotazione.

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Evoluta della parabola

martedì, Dicembre 29th, 2020

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Esercizio

Trovare l'evoluta della parabola y²=2px.

Soluzione
Una rappresentazione parametrica della parabola assegnata è

Dobbiamo utilizzare le ben note equazioni per calcolare le coordinate del centro di curvatura:

Abbiamo

Quindi

Siccome l'evoluta è il luogo dei centri di curvatura, le equazioni appena scritte costituiscono una rappresentazione parametrica di tale curva. Riscriviamole per chiarezza nella forma consueta:

Per vedere di quale curva si tratta, eliminiamo il parametro t. Ad esempio, dalla prima ricaviamo

che sostituito nella seconda, dopo qualche passaggio:

cioè una semicubica con cuspide in (p,0), e che interseca la parabola nei punti

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