» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Interpretazione cinematica di una curva regolare

mercoledì, Marzo 29th, 2017

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Da un punto di vista cinematico una curva regolare è una traiettoria dello spazio fisico R³ percorsa in tutti i modi possibili (i.e. con tutte le velocità possibili). Infatti, comunque prendiamo due rappresentazioni equivalenti x(t) e x_*(t) di una curva regolare Γ, si ha:

definiscono le velocità vettoriali di due punti materiali P₁ e P₂ che descrivono la stessa traiettoria Γ con leggi orarie diverse. Il punto P₁:

mentre le coordinate cartesiane x,y,z del punto P₂ seguono le leggi orarie:

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[¯|¯] Riparametrizzazione. Sostituzione di parametro ammissibile. Curva regolare

mercoledì, Marzo 29th, 2017

Sia data una rappresentazione parametrica di base X:

Eseguiamo il cambio di variabile t->τ, mediante la funzione t=g(τ) definita in un intervallo Y di R.
Definizione
La funzione g(τ) definisce una riparametrizzazione della rappresentazione parametrica assegnata.
Quindi scriviamo

dove

Definizione
Una riparametrizzazione t=(τ) è una sostituzione di parametro ammissibile se:

dove l'apice denota l'operazione di derivazione nella notazione di Lagrange:

Lemma
Una sostituzione di parametro ammissibile è invertibile.

Dimostrazione

Se g(τ) è una qualunque sostituzione di parametro ammissibile definita nell'intervallo Y, si ha:

Inoltre, la funzione g(τ) è continua in Y (per definizione). Quindi per un noto teorema di Analisi segue l'asserto.
c.d.d.
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