» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Omeomorfismi, spazi di Hausdorff. Varietà topologica

sabato, Aprile 1st, 2017

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Premessa. Omeomorfismi

In precedenza abbiamo lavorato sullo spazio Rⁿ, dotandolo di una struttura di spazio vettoriale topologico. In questo post vogliamo generalizzare tale nozione, nel senso che ci riferiremo a un generico spazio topologico e non necessariamente a Rⁿ, per cui è necessario rammentare le nozioni basilari di topologia, prima tra tutte il concetto di omeomorfismo, che nel caso particolare di Rⁿ, si definisce nel seguente modo:
Definizione
Se A è un sottoinsieme di Rⁿ un'applicazione

è un omeomorfismo se φ è continua in A ed è ivi dotata di inversa continua in φ(A) (contenuta ovviamente in Rⁿ. In tal caso si dice che i sottoinsiemi di Rⁿ

sono omeomorfi.
Esempio
Nello spazio vettoriale topologico R¹ consideriamo l'applicazione

così definita:

φ(x) è continua in (-π/2,π/2) ed è ivi dotata di inversa continua in R¹:

Ne concludiamo che tanx è un omeomorfismo da (-π/2,π/2) a R¹, onde l'aperto (-π/2,π/2) è omeomorfo a R¹ attraverso tanx.

Spazi di Hausdorff. Varietà topologica

Dando per scontata la nozione di intorno di un punto p appartenente a uno spazio topologico(S,Θ), definiamo:
Definizione
Uno spazio di Hausdorff è uno spazio topologico (S,Θ) tale che

dove U_p,U_p' sono intorni di p e p' rispettivamente.
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[¯|¯] Introduzione al concetto di Varietà differenziabile

venerdì, Marzo 31st, 2017

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Le ambiguità riscontrate nella definizione di curva regolare, si risolvono in "un colpo solo" attraverso la nozione di varietà differenziabile. Per introdurre tale importante ente geometrico sono necessarie alcune premesse.

Lo spazio euclideo a n dimensioni

In questa esposizione seguiremo il testo Introduzione ai metodi della geometria differenziale dove viene utilizzata la convenzione degli "indici in alto" per denotare gli elementi delle n-ple ordinate che compongono l'insieme Rⁿ:

con l'ulteriore convenzione di indicare con x (non grassettato) il generico elemento del predetto insieme. Cioè

Ciò premesso, definendo la funzione distanza:

L'insieme Rⁿ assume la struttura di spazio metrico. Chiamiamo tale spazio spazio euclideo a n dimensioni. Inoltre, la metrica induce in Rⁿ una struttura di spazio topologico. In tale topologia gli aperti sono gli insiemi di punti:

per un assegnato ξ=(ξ¹,...,ξⁿ) di Rⁿ e R>0 scelto ad arbitrio.
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