Derivate vettoriali notevoli (Teoria delle curve)

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Derivate vettoriali notevoli (Teoria delle curve)

giovedì, Dicembre 17th, 2020

derivate vettoriali notevoli,rappresentazione naturale,rappresentazione parametrica — **Fig. 1**

Assegnata una curva regolare γ, consideriamo una generica rappresentazione parametrica regolare

e una rappresentazione naturale

OsservazioneRicordiamo che esistono infinite rappresentazioni naturali di una curva regolare, definite a meno di un punto quale origine degli archi, e del verso di percorrenza.

Come è consuetudine, utilizziamo la notazione puntata per denotare l'operazione di derivazione rispetto al parametro t, e la notazione apicale (o di Lagrange) per indicare l'operazione di derivazione rispetto al parametro naturale s. Nei numeri precedenti abbiamo stabilito:

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Una curva regolare può avere una rappresentazione parametrica non regolare?

giovedì, Dicembre 17th, 2020

curva regolare,rappresentazione parametrica regolare,rappresentazione parametrica non regolare — **Fig. 1**

La risposta è sì. Ad esempio, consideriamo in R² la semicirconferenza di raggio unitario centrata nell'origine e tracciata nel semipiano xy. Una rappresentazione parametrica regolare è

Tuttavia, il medesimo luogo geometrico esibisce quest'altra rappresentazione parametrica:

che è non regolare. Infatti, la derivata prima ha una discontinuità di seconda specie agli estremi dell'intervallo base.

come illustrato in fig. 1.

Ne concludiamo che esistono infinite rappresentazioni parametriche non regolari di un'assegnata curva regolare. In altri termini, la non regolarità di una rappresentazione parametrica è condizione necessaria ma non sufficiente per la non regolarità di una curva.
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