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Derivate vettoriali notevoli (Teoria delle curve)

Dicembre 17th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Assegnata una curva regolare γ, consideriamo una generica rappresentazione parametrica regolare

e una rappresentazione naturale

OsservazioneRicordiamo che esistono infinite rappresentazioni naturali di una curva regolare, definite a meno di un punto quale origine degli archi, e del verso di percorrenza.

Come è consuetudine, utilizziamo la notazione puntata per denotare l'operazione di derivazione rispetto al parametro t, e la notazione apicale (o di Lagrange) per indicare l'operazione di derivazione rispetto al parametro naturale s. Nei numeri precedenti abbiamo stabilito:

ove l'ultima esprime una notevole decomposizione del vettore x nel piano osculatore, con le ben note ricadute cinematiche (accelerazione tangenziale e accelerazione normale). Moltiplicando vettorialmente avevamo ottenuto:

che ci ha poi permesso di ricavare il valore assoluto della curvatura:

Se invece eseguiamo il prodotto scalare e tenendo conto della proprietà distributiva di quest'ultimo rispetto all'addizione di vettori, si ha:

Ma

per cui

Segue la notevole proprietà

Notable Vector Derivatives (Curve Theory)

Assigned a regular curve γ, we consider a generic regular parametric representation

and a natural representation

Notation Remember that there are infinite natural representations of a regular curve, defined at less than one point as the origin of the arcs, and of the direction of travel.

As is customary, we use dotted notation to denote the derivation operation with respect to the parameter t, and the apical (or Lagrange) notation to indicate the derivation operation with respect to the natural parameter s. In previous issues we have established:

where the latter expresses a significant decomposition of the vector x in the osculating plane, with the well-known kinematic effects ( tangential acceleration and normal acceleration ). By multiplying vectorially we obtained:

which then allowed us to derive the absolute value of the curvature:

If instead we execute the scalar product and taking into account the distributive property of the latter with respect to the addition of vectors, we have:

But

for which

Remarkable ownership follows

Tags: derivate vettoriali notevoli, rappresentazione naturale, rappresentazione parametrica

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