Una curva regolare può avere una rappresentazione parametrica non regolare?

Dicembre 17th, 2020 | by Marcello Colozzo |

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Fig. 1


La risposta è sì. Ad esempio, consideriamo in R² la semicirconferenza di raggio unitario centrata nell'origine e tracciata nel semipiano xy. Una rappresentazione parametrica regolare è


Tuttavia, il medesimo luogo geometrico esibisce quest'altra rappresentazione parametrica:


che è non regolare. Infatti, la derivata prima ha una discontinuità di seconda specie agli estremi dell'intervallo base.

come illustrato in fig. 1.

Ne concludiamo che esistono infinite rappresentazioni parametriche non regolari di un'assegnata curva regolare. In altri termini, la non regolarità di una rappresentazione parametrica è condizione necessaria ma non sufficiente per la non regolarità di una curva.

Can a regular curve have a non-regular parametric representation?

The answer is yes. For example, we consider in R² the semicircle of unit radius centered in the origin and plotted in the semiplane xy. A regular parametric representation is


However, the same geometric locus exhibits this other parametric representation:


which is non-regular. In fact, the first derivative has a second kind discontinuity at the ends of the base interval.


as illustrated in fig. 1.

We conclude that there are infinite non-regular parametric representations of an assigned regular curve. In other words, the non-regularity of a parametric representation is a necessary but not sufficient condition for the non-regularity of a curve.

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