Curva discriminante di una famiglia di curve piane (Discriminant curve of a family of plane curves)

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Curva discriminante di una famiglia di curve piane (Discriminant curve of a family of plane curves)

giovedì, Dicembre 24th, 2020

inviluppo,famiglia di curve piane,curva discriminante

Abbiamo completamente rifatto la lezione sull'inviluppo di una famiglia di curve piane, introducendo l'importante nozione di curva discriminante. L'esistenza di tale luogo geometrico deriva dal rilassamento delle condizioni che compongono le ipotesi del famoso Teorema del Dini, per cui risolvendo l'appropriato sistema di equazione, ci si aspetta la comparsa di luoghi estranei ossia non necessariamente curve inviluppo. Abbiamo esaminato l'esistenza dei famigerati punti base, ora cerchiamo di capire i luogi dei punti singolari.

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Famiglia di parabole inviluppata dagli assi coordinati

mercoledì, Dicembre 23rd, 2020

inviluppo di una famiglia di curve piane — **Fig. 1**

In tutti gli esercizi svolti fino a questo momento, ci siamo concentrati sulla ricerca delle soluzioni del sistema di equazioni che conducono a una qualche rappresentazione parametrica dell'inviluppo di una famiglia di curve piane. Ma non sempre i risultati raggiunti sono così immediati ed è facile confondersi, perché anziché trovare l'inviluppo si determina il luogo dei punti singolari come visto nell'esercizio precedente. Bisogna allora studiare l'eventuale presenza di punti singolari. L'esempio che proponiamo è ancora più suggestivo, in quanto contiene un punto singolare con sorpresa finale: l'inviluppo è l'unione degli assi coordinati.

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